问题描述
小U是一位古生物学家，正在研究不同物种之间的血缘关系。为了分析两种古生物的血缘远近，她需要比较它们的DNA序列。DNA由四种核苷酸A、C、G、T组成，并且可能通过三种方式发生变异：添加一个核苷酸、删除一个核苷酸或替换一个核苷酸。小U认为两条DNA序列之间的最小变异次数可以反映它们之间的血缘关系：变异次数越少，血缘关系越近。
你的任务是编写一个算法，帮助小U计算两条DNA序列之间所需的最小变异次数。
dna1: 第一条DNA序列。dna2: 第二条DNA序列。
测试样例
样例1：
输入：
dna1 = "AGT",dna2 = "AGCT"
输出：1
样例2：
输入：
dna1 = "AACCGGTT",dna2 = "AACCTTGG"
输出：4
一开始想到是KMP，后面写了一下感觉不对，在豆包的提示下用动态规划来思考：
问题理解
我们需要计算两条DNA序列之间的最小变异次数，变异包括插入、删除和替换操作。这个问题可以转化为计算两个字符串之间的编辑距离（Edit Distance）。
数据结构选择
我们选择一个二维数组 dp 来存储中间结果。dp[i][j] 表示 dna1 的前 i 个字符和 dna2 的前 j 个字符之间的最小变异次数。
算法步骤
-
初始化：
- 如果
dna1为空，那么dp[0][j]就是j，因为需要j次插入操作。 - 如果
dna2为空，那么dp[i][0]就是i，因为需要i次删除操作。
- 如果
-
状态转移：
-
如果
dna1[i-1] == dna2[j-1]，那么dp[i][j] = dp[i-1][j-1]，因为不需要任何操作。 -
如果
dna1[i-1] != dna2[j-1]，那么dp[i][j]可以通过以下三种操作的最小值加一来得到：- 插入：
dp[i][j-1] + 1 - 删除：
dp[i-1][j] + 1 - 替换：
dp[i-1][j-1] + 1
- 插入：
-
-
最终结果：
dp[m][n]就是dna1和dna2之间的最小变异次数，其中m和n分别是dna1和dna2的长度。
总结
通过动态规划，我们可以有效地计算出两条DNA序列之间的最小变异次数。这个方法的时间复杂度是 O(m * n)，其中 m 和 n 分别是两条序列的长度。
代码：
def solution(dna1, dna2):
m, n = len(dna1), len(dna2)
# 创建一个 (m+1) x (n+1) 的二维数组 dp
dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
# 初始化 dp 数组
for i in range(m + 1):
dp[i][0] = i
for j in range(n + 1):
dp[0][j] = j
# 填充 dp 数组
for i in range(1, m + 1):
for j in range(1, n + 1):
if dna1[i-1] == dna2[j-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
else:
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1
return dp[m][n]
优化：
滚动数组的思想是只保留当前行和上一行的状态，而不是保留整个二维数组。这样可以显著减少空间复杂度。 优化动态规划算法的空间复杂度可以通过使用滚动数组（Rolling Array）来实现。滚动数组的思想是只保留当前行和上一行的状态，而不是保留整个二维数组。这样可以显著减少空间复杂度。
优化思路
-
初始化：
- 我们只需要两个一维数组
prev和curr，分别表示上一行和当前行的状态。
- 我们只需要两个一维数组
-
状态转移：
- 在每一轮迭代中，
prev存储上一行的状态，curr存储当前行的状态。 - 每次更新
curr时，我们只需要用到prev和curr中的值。
- 在每一轮迭代中，
-
滚动更新：
- 在每一轮迭代结束后，交换
prev和curr，使得prev始终存储上一行的状态。
- 在每一轮迭代结束后，交换
代码实现
以下是优化后的代码实现：
def solution(dna1, dna2):
m, n = len(dna1), len(dna2)
# 初始化两个一维数组
prev = [0] * (n + 1)
curr = [0] * (n + 1)
# 初始化第一行
for j in range(n + 1):
prev[j] = j
# 填充 dp 数组
for i in range(1, m + 1):
# 初始化当前行的第一个元素
curr[0] = i
for j in range(1, n + 1):
if dna1[i-1] == dna2[j-1]:
curr[j] = prev[j-1]
else:
curr[j] = min(prev[j], curr[j-1], prev[j-1]) + 1
# 交换 prev 和 curr
prev, curr = curr, prev
return prev[n]
if __name__ == "__main__":
# 你可以添加更多测试用例
print(solution("AGT", "AGCT") == 1)
print(solution("", "ACGT") == 4)
print(solution("GCTAGCAT", "ACGT") == 5)
优化
优化后的空间复杂度
- 原始的二维数组
dp的空间复杂度是O(m * n)。 - 优化后的滚动数组
prev和curr的空间复杂度是O(n)。
通过这种方式，我们可以在保持时间复杂度不变的情况下，显著减少空间复杂度。希望这个优化思路对你有帮助！如果你有任何问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。
