最少前缀问题|豆包MarsCode AI刷题

为了解决这个问题，我们需要找到将字符串 S 转换为 T 的某个前缀所需的最少操作次数。这些操作包括修改 S 中的某个字符和删除 S 末尾的字符。

我们可以使用动态规划（Dynamic Programming, DP）来解决这个问题。动态规划允许我们记录子问题的解，并利用这些解来构建更大问题的解，从而避免重复计算。

动态规划思路

1. 定义状态：

   • 我们定义一个二维数组 dp[i][j]，其中 dp[i][j] 表示将 S 的前 i 个字符转换为 T 的前 j 个字符所需的最少操作次数。

2. 初始化：

   • 当 j = 0 时，无论 i 为多少，dp[i][0] 都应该等于 i，因为我们需要删除 S 的前 i 个字符才能使 S 变为空字符串（即 T 的前 0 个字符）。
   • 当 i = 0 且 j > 0 时，dp[0][j] 应该是无穷大（或者一个很大的数，表示不可能达到的状态），因为我们不能从空字符串 S 得到 T 的任何非空前缀。
   • dp[0][0] 应该是 0，因为空字符串转换为空字符串不需要任何操作。

3. 状态转移：

   • 如果 S[i-1] == T[j-1]（即当前字符相等），则 dp[i][j] = dp[i-1][j-1]（不需要额外操作）。

   • 否则，我们有两种选择：

     • 修改 S[i-1] 为 T[j-1]，此时 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
     • 删除 S[i-1]（即不考虑它），此时 dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1。

   • 我们取这两种操作中的最小值作为 dp[i][j] 的值。

4. 结果：

   • 我们需要找到 dp[len(S)][k] 中的最小值，其中 k 从 1 到 len(T)，表示 S 可以转换为 T 的前 k 个字符的最少操作次数。最终答案将是这些最小值中的最小者（如果 S 能够成为 T 的某个前缀的话）。

优化

• 实际上，我们不需要存储整个二维数组 dp，因为我们在计算 dp[i][j] 时只依赖于 dp[i-1][...] 和 dp[...][j-1]。因此，我们可以使用两个一维数组来交替存储这些值，或者使用滚动数组进一步优化空间复杂度。
• 另外，如果 S 的长度大于 T 的长度，并且 S 的前缀与 T 不匹配，那么我们可以提前终止计算，因为此时 S 不可能成为 T 的前缀。

实现

下面是使用动态规划解决这个问题的Python代码实现：

请注意，上述代码中的 min_operations_to_prefix 函数返回 -1（或者你可以选择一个其他表示“不可能”的特定值）如果 S 不能通过任何操作变成 T 的某个前缀。在实际应用中，你可能希望根据具体需求来调整这个返回值。

问题概述

我们有两个字符串 S 和 T，目标是通过修改 S 的字符或删除 S 的末尾字符，使 S 变成 T 的一个前缀。我们需要计算完成这个任务所需的最少操作次数。

动态规划思路详解

1. 定义状态：

   • 我们用 dp[i][j] 表示将 S 的前 i 个字符转换为 T 的前 j 个字符所需的最少操作次数。

2. 初始化：

   • 当 j = 0 时，dp[i][0] = i，因为我们需要删除 S 的前 i 个字符来匹配 T 的空前缀。
   • 当 i = 0 且 j > 0 时，dp[0][j] = ∞（或一个很大的数），因为我们不能从空字符串 S 得到 T 的任何非空前缀。
   • dp[0][0] = 0，因为空字符串到空字符串不需要任何操作。

3. 状态转移：

   • 如果 S[i-1] == T[j-1]（即当前字符相等），则 dp[i][j] = dp[i-1][j-1]。

   • 如果不相等，我们有两种选择：

     • 修改 S[i-1] 为 T[j-1]，此时 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
     • 删除 S[i-1]（即不考虑它），此时 dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1。

   • 我们取这两种操作中的最小值，即 dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1] + (S[i-1] != T[j-1]), dp[i-1][j] + 1)。

4. 结果：

   • 我们遍历 dp[m][1] 到 dp[m][n]（其中 m = len(S)，n = len(T)），找到其中的最小值。这个最小值就是将 S 转换为 T 的某个前缀所需的最少操作次数。