伴学笔记：解决二进制数能否被 5 整除的问题一、问题分析在这道题中，我们的任务是给定一个二进制数组 nums，并计算每

一、问题分析

在这道题中，我们的任务是给定一个二进制数组 nums，并计算每个从 nums[0] 到 nums[i]（即前 i+1 位组成的二进制数）所表示的数，判断这个二进制数是否能被 5 整除。对于每个 i，我们需要返回一个布尔值，表示该二进制数是否能够被 5 整除。

例如：

输入：nums = [0, 1, 1]
- x0 = 0，可以被 5 整除，返回 True
- x1 = 1，不能被 5 整除，返回 False
- x2 = 3，不能被 5 整除，返回 False
- 最终返回 [True, False, False]
输入：nums = [1, 0, 1, 1, 0]
- x0 = 1，不能被 5 整除，返回 False
- x1 = 2，不能被 5 整除，返回 False
- x2 = 5，可以被 5 整除，返回 True
- x3 = 10，不能被 5 整除，返回 False
- x4 = 20，不能被 5 整除，返回 False
- 最终返回 [False, False, True, False, False]

二、关键思想

为了判断每个位置 i 对应的二进制数是否能被 5 整除，我们首先需要构造出从 nums[0] 到 nums[i] 所表示的二进制数。构建这些二进制数时，我们可以利用一个数学技巧，即左移和加法。

具体来说，给定 xi 表示从 nums[0] 到 nums[i] 的二进制数：

x0 = nums[0]
x1 = (x0 * 2 + nums[1])
x2 = (x1 * 2 + nums[2])
...

这样每次可以通过将当前的数左移一位（乘以 2）然后加上当前位的数，来更新二进制数。

此外，由于我们关心的是是否能被 5 整除，我们可以 对 5 取余 来判断。这样不仅能避免构造的数过大，还能直接知道该数是否能被 5 整除。

三、实现思路

初始化变量：
- xi：当前的二进制数，初始为 0。
- answer：存储每个 xi 是否能被 5 整除的布尔值列表。
遍历输入数组 nums：
- 对于每个元素 num，更新当前二进制数 xi = (xi * 2 + num) % 5，即左移一位并加上当前元素。
- 判断 xi == 0，如果为 True，说明该二进制数能被 5 整除，将 True 加入结果列表 answer；否则加入 False。
返回结果：
- 遍历完所有元素后，返回布尔值列表 answer。

四、代码实现

def solution(nums: list) -> list:
    xi = 0  # 初始化 xi 为 0
    answer = []  # 用于存储每个 xi 是否能被 5 整除的结果
    
    for num in nums:
        xi = (xi * 2 + num) % 5  # 通过左移并加上当前位 num，且对 5 取余
        answer.append(xi == 0)  # 如果 xi 能被 5 整除，结果为 True，否则为 False
    
    return answer

# 测试用例
if __name__ == '__main__':
    print(solution(nums=[0, 1, 1]) == [True, False, False])
    print(solution(nums=[1, 0, 1, 1, 0]) == [False, False, True, False, False])
    print(solution(nums=[1, 1, 1]) == [False, False, False])

五、代码解析

xi = 0：
- 我们从 xi = 0 开始，表示当前的二进制数为 0。
xi = (xi * 2 + num) % 5：
- 对每个二进制位，我们通过左移并加上当前位的方式构造出新的二进制数。
- 由于我们只关心 xi 是否能被 5 整除，因此每次更新后都对 5 进行取余。
answer.append(xi == 0)：
- 如果当前的二进制数 xi 能被 5 整除（即 xi % 5 == 0），就将 True 加入 answer，否则加入 False。
返回结果：
- 最后返回 answer 列表，即每个位置是否能被 5 整除的结果。

六、时间复杂度分析

遍历一次 nums 数组，每次操作的时间复杂度为常数时间 O(1)。
因此，整个算法的时间复杂度是 O(n)，其中 n 是 nums 数组的长度。

七、空间复杂度分析

我们使用了一个 answer 列表来存储结果，因此空间复杂度为 O(n)，其中 n 是 nums 数组的长度。

八、总结

这道题考察了如何通过左移和加法来逐步构造一个二进制数，并判断该数是否能被 5 整除。通过 模运算 来避免数值过大，提高了算法的效率。通过此题，我进一步理解了如何在循环中处理动态变化的数值，并优化了计算过程，使得问题得以高效解决。