第六篇最少前缀操作问题|豆包MarsCode AI 刷题

问题描述

小U和小R有两个字符串，分别是SS和TT，现在小U需要通过对SS进行若干次操作，使其变成TT的一个前缀。操作可以是修改SS的某一个字符，或者删除SS末尾的字符。现在你需要帮助小U计算出，最少需要多少次操作才能让SS变成TT的前缀。

思路：

1. 我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题。

2. 定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示将 S 的前 i 个字符变成 T 的前 j 个字符的前缀所需的最少操作次数。

3. 对于 dp[i][j]，我们可以考虑三种情况：

   • 如果 S[i-1] == T[j-1]，则 dp[i][j] = dp[i-1][j-1]。
   • 可以修改 S[i-1] 使其等于 T[j-1]，则 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
   • 可以删除 S[i-1]，则 dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1。

4. 最终结果是 dp[len(S)][len(T)]。

   由MarsCode AI给的解释

一、动态规划的基本思想： 我们使用动态规划来解决这个问题，核心是将原问题分解为子问题，并存储子问题的解，避免重复计算。这里定义 dp[i][j] 表示将 S 的前 i 个字符变成 T 的前 j 个字符的前缀所需的最少操作次数。

二、状态转移方程的推导：

1. 当 i == 0 时：

   • 这表示 S 是一个空字符串，要将其变成 T 的前 j 个字符的前缀，需要进行 j 次添加操作，所以 dp[0][j] = j。

2. 当 j == 0 时：

   • 这表示 T 是一个空字符串，要将 S 的前 i 个字符变成 T 的前缀（空字符串），需要进行 i 次删除操作，所以 dp[i][0] = i。

3. 当 S[i - 1] == T[j - 1] 时：

   • 这意味着当前字符相同，不需要额外操作，所以 dp[i][j] 等于 dp[i - 1][j - 1]。

4. 当 S[i - 1]!= T[j - 1] 时：

   • 有两种操作可以考虑：

     • 修改 S 的第 i - 1 个字符，使其等于 T 的第 j - 1 个字符，此时操作次数为 dp[i - 1][j - 1] + 1。
     • 删除 S 的第 i - 1 个字符，此时操作次数为 dp[i - 1][j] + 1。

   • 我们取这两种操作的最小值作为 dp[i][j] 的值，即 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] + 1, dp[i - 1][j] + 1)。

三、优化后的一维数组思路： 在优化后的代码中，我们使用一维数组 dp 来存储中间结果。

1. 初始化 dp 数组，将其长度设置为 n + 1，并将 dp[0] 初始化为 0，因为将空字符串变成空字符串需要 0 次操作。

2. 对于 S 中的每个字符（i 从 1 到 m）：

   • 首先，将当前的 dp 数组复制到 prev 数组中，因为我们需要使用上一行的结果。

   • 对于 T 中的每个字符（j 从 1 到 n）：

     • 如果 S[i - 1] == T[j - 1]，更新 dp[j] 为 prev[j - 1]，因为不需要额外操作。
     • 否则，更新 dp[j] 为 prev[j - 1] + 1（修改操作）和 prev[j] + 1（删除操作）的最小值