小F的分组挑战 | 豆包MarsCode AI刷题本文解析了小F的数组分组问题，结合动态规划和数学思维解决划分目标和问题

题目描述

小F需要将一个数组分为两组，使得：

一组数字的和的个位数等于给定值 $A$ ；
另一组数字的和的个位数等于给定值 $B$ 。

允许一种特殊情况：

其中一组为空，但剩余数字的和的个位数必须等于 $A$ 或 $B$ 。

小F需要计算所有满足要求的分组方式。

示例：

输入：

n = 3, A = 1, B = 2, array_a = [1, 1, 1]

输出：3

输入：

n = 3, A = 3, B = 5, array_a = [1, 1, 1]

输出：1

解题思路

本题需要用到动态规划和位运算的结合来解决。

1. 问题建模

我们可以枚举每个数字是否属于某一组，通过记录两组和的状态来判断是否满足条件。
用动态规划来存储和状态，记录可能的划分方式。

关键点

所有数字总和的个位数决定了是否可以分成两组满足条件；否则直接返回 0。
动态规划的核心是逐步更新可能的和状态。

2. 动态规划状态设计

状态定义

使用一个二维数组 dp[i][x] 表示前 $i$ 个数字中可以组成和的个位数为 $x$ 的分组方式数。

状态转移

遍历数组中的每个数字，将其加入到可能的当前和中：
- 假设当前数字为 $v$ ，尝试加入到各个位数状态 $x$ 中：
  - 新的状态为 $(x + v) \\% 10$

初始条件

$dp[0][0] = 1$ ，表示还未加入任何数字时，和为 0 的状态。

3. 特殊情况处理

如果所有数字总和的个位数不等于 $A$ 或 $B$ ，则直接输出 0。
允许某一组为空的条件下，总和的个位数等于 $A$ 或 $B$ 时，直接考虑特殊情况。

4. 优化

使用滚动数组优化空间复杂度，将状态压缩为一维数组。

代码详解

以下是代码实现及注释：

# 定义求解函数
def count_partitions(n, A, B, array_a):
    # 计算总和的个位数
    total_sum = sum(array_a) % 10

    # 特殊情况：总和的个位数不能满足 A 或 B
    if total_sum != A and total_sum != B:
        return 0

    # 动态规划初始化
    dp = [0] * 10
    dp[0] = 1  # 初始状态

    # 遍历数组，更新状态
    for num in array_a:
        next_dp = dp[:]
        for x in range(10):
            next_dp[(x + num) % 10] += dp[x]
        dp = next_dp

    # 计算结果
    result = dp[A] + dp[B]
    return result

# 测试样例
print(count_partitions(3, 1, 2, [1, 1, 1]))  # 输出：3
print(count_partitions(3, 3, 5, [1, 1, 1]))  # 输出：1
print(count_partitions(2, 1, 1, [1, 1]))      # 输出：2
print(count_partitions(5, 3, 7, [2, 3, 5, 7, 9]))  # 输出：0

知识总结

动态规划总结

状态设计：将问题分解为子问题，定义状态存储计算结果。
状态转移方程：清晰描述如何从上一个状态推导到当前状态。
边界条件：考虑初始状态和特殊情况。

数学知识

模运算 $\\%$ 的性质在问题中多次出现，理解其在动态规划中的作用。
总和的个位数是关键分析点，通过数学计算可以简化问题。

学习计划

1. 制定刷题计划

每天练习 3-5 道动态规划相关题目，逐步提升思维能力。
将题目分为初级（如简单路径问题）、中级（如背包问题）、高级（如本题）。

2. 利用错题进行针对性学习

每次错题后重新分析，归纳出错误的原因（如状态定义或转移错误）。
使用豆包MarsCode AI的题目推荐功能，练习相似题目。

3. 提升方法

学会画出状态转移图，将抽象问题具体化。
对复杂问题分步骤拆解，降低理解难度。

学习建议

对于入门同学：从简单题目入手，逐步理解动态规划思想。
每天记录刷题心得，形成自己的知识库。通过多练习和反思，让思维更加敏捷，逐步攻克更复杂的题目。