问题描述
小U挑战一座非常高的楼梯。每次可以选择走一步或两步，但有一个限制：不能连续走两步（即一次跨两级台阶之后，下一步不能再跨两级）。给定楼梯的层数 nn，求小U有多少种不同的方式可以从底部走到顶端。
测试样例
样例1：
输入：
n = 2
输出：2
样例2：
输入：
n = 3
输出：3
样例3：
输入：
n = 4
输出：4
问题分析
本问题是一个动态规划问题。传统楼梯问题的变种通常允许连续选择步数，但在此约束下，需要考虑每次步数的不同组合和合法性。
动态规划定义
-
状态定义： 用 dp[i][j] 表示走到第 i 级台阶时，最后一步是 j 步的方法数：
- dp[i][1]：最后一步是 1 步。
- dp[i][2]：最后一步是 2 步。
状态转移方程
要走上第 i 级台阶，只有两种转移方式：
-
最后一步是 1 步：
- 上一步可以是 1 步或者 2 步：
dp[i][1]=dp[i−1][1]+dp[i−1][2]
-
最后一步是 2 步：
- 上一步只能是 1 步（因为不能连续两次跨两级）：
dp[i][2]=dp[i−2][1]
初始条件
-
当 i=1（第一层台阶）：
- dp[1][1]=1dp[1][1] = 1（只能走一步到达）。
- dp[1][2]=0dp[1][2] = 0（不可能直接跨到第一层）。
-
当 i=2（第二层台阶）：
- dp[2][1]=1dp[2][1] = 1（从第一层走一步到第二层）。
- dp[2][2]=1dp[2][2] = 1（从第 0 层跨两级到第二层）。
最终结果
总的走法数是：dp[n][1]+dp[n][2]
代码实现
package main
import (
"fmt"
)
func solution(n int) int {
if n == 1 {
return 1
} else if n == 2 {
return 2
}
//创建dp表
dp := make([][3]int, n+1)
//初始条件
dp[1][1], dp[1][2] = 1, 0
dp[2][1], dp[2][2] = 1, 1
//状态转移
for i := 3; i <= n; i++ {
dp[i][1] = dp[i-1][1] + dp[i-1][2]
dp[i][2] = dp[i-2][1]
}
//返回结果
return dp[n][1] + dp[n][2]
}
func main() {
// Add your test cases here
fmt.Println(solution(2) == 2)
fmt.Println(solution(5) == 6)
fmt.Println(solution(6) == 9)
}
时间和空间复杂度分析
-
时间复杂度：
动态规划需要计算从 1 到 n 的所有台阶状态，每次转移是常数时间 O(1)。总时间复杂度为O(n) -
空间复杂度：
动态规划表格的大小为 (n+1)×3，空间复杂度为O(n)
优化方案
观察到每一层的状态仅依赖于上一层（或前两层），因此我们可以用常数变量存储状态，减少空间消耗，将空间复杂度优化到O(1)。
