最小编辑距离（Levenshtein 距离）
在解决本题的过程中，我们要实现一个函数来计算将一个受损的DNA序列转换为一个未受损的DNA序列所需的最少编辑步骤。这是一个经典的 字符串编辑距离 问题，通常称为 Levenshtein距离。通过这道题，我重新梳理了编辑距离问题的常见解法——动态规划（Dynamic Programming，简称DP），并理解了其应用过程。接下来，我将详细讲解该问题的思路与解法。
问题分析
最小编辑距离问题的本质是给定两个字符串，我们需要通过最少的操作将一个字符串转换成另一个字符串。操作包括：
- 插入字符：向字符串中添加一个字符。
- 删除字符：删除字符串中的一个字符。
- 替换字符：将字符串中的一个字符替换为另一个字符。
例如，给定两个DNA序列：
dna1 = "AGT"dna2 = "AGCT"
我们需要通过最少的操作将 dna1 转换成 dna2。从 AGT 转换为 AGCT 的最优路径是 插入字符 "C" ，因此最少编辑步骤为 1。
动态规划思想
为了解决这个问题，我们采用动态规划（DP）的方法。DP的核心思想是将一个大问题转化为小问题，通过小问题的解构建最终的解。
-
定义状态： 设
dp[i][j]表示将dna1[0...i-1]转换为dna2[0...j-1]所需的最小编辑步骤。dp[i][0]表示将dna1的前i个字符转换为空字符串，这需要i步删除操作。dp[0][j]表示将空字符串转换为dna2的前j个字符，这需要j步插入操作。
-
状态转移方程：
-
如果
dna1[i-1] == dna2[j-1]，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1]，即不需要任何操作。 -
如果
dna1[i-1] != dna2[j-1]，则有三种可能的操作：- 删除：将
dna1[i-1]删除，得到dp[i-1][j] + 1。 - 插入：向
dna1中插入dna2[j-1]，得到dp[i][j-1] + 1。 - 替换：将
dna1[i-1]替换为dna2[j-1]，得到dp[i-1][j-1] + 1。
- 删除：将
因此，状态转移方程为：
dp[i][j] = min(dp[i-1][j] + 1, # 删除 dp[i][j-1] + 1, # 插入 dp[i-1][j-1] + 1) # 替换 -
-
边界条件：
dp[i][0] = i，表示将dna1的前i个字符转化为空字符串需要i步删除操作。dp[0][j] = j，表示将空字符串转换为dna2的前j个字符需要j步插入操作。
实现步骤
通过上述分析，我们可以使用一个二维数组 dp 来实现动态规划，逐步计算出最小编辑距离。具体实现步骤如下：
- 创建一个二维数组
dp，其大小为(len1+1) x (len2+1)，其中len1和len2分别是dna1和dna2的长度。 - 初始化数组的第一行和第一列，表示将一个字符串转换为空字符串所需的步数。
- 遍历整个二维数组，计算出每个位置的最小编辑距离。
- 最终结果存储在
dp[len1][len2]中，表示将dna1完全转换为dna2所需的最小编辑步数。
代码实现
def solution(dna1, dna2):
len1, len2 = len(dna1), len(dna2)
# 创建DP数组，并初始化
dp = [[0] * (len2 + 1) for _ in range(len1 + 1)]
# 初始化边界条件
for i in range(len1 + 1):
dp[i][0] = i # 删除所有字符
for j in range(len2 + 1):
dp[0][j] = j # 添加所有字符
# 填充DP表
for i in range(1, len1 + 1):
for j in range(1, len2 + 1):
if dna1[i - 1] == dna2[j - 1]: # 字符相同，不需要操作
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
else: # 需要替换、插入或删除
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, # 删除
dp[i][j - 1] + 1, # 插入
dp[i - 1][j - 1] + 1) # 替换
# 返回最小编辑步骤
return dp[len1][len2]
# 测试
if __name__ == "__main__":
print(solution("AGT", "AGCT") == 1)
print(solution("AACCGGTT", "AACCTTGG") == 4)
print(solution("ACGT", "TGC") == 3)
print(solution("A", "T") == 1)
print(solution("GGGG", "TTTT") == 4)
时间与空间复杂度分析
- 时间复杂度：
O(m * n)，其中m和n分别是dna1和dna2的长度。我们需要遍历整个二维数组dp，每个位置的计算时间为常数时间。 - 空间复杂度：
O(m * n)，我们使用了一个大小为(m+1) x (n+1)的二维数组来存储中间结果。
总结
通过本题，我们深入理解了最小编辑距离问题的动态规划解法。通过构建一个二维DP表来记录每一步操作的最小代价，最终得出将一个字符串转换为另一个字符串的最少编辑操作数。此题不仅考察了基本的动态规划技术，还加深了对字符串操作的理解，对于字符串处理问题的求解具有广泛的应用价值。
