AI 刷题奇妙货币交易问题题解 | 豆包MarsCode AI刷题奇妙货币交易问题题解应该考虑各种边界情况，例如 W

奇妙货币交易问题题解

问题描述

小R住在 X 国，这个国家的货币非常特殊，其面值是 V^0, V^1, V^2, ..., V^n，其中 n 可以无限大。该国的交易规则也很特别：在一次交易中，双方只能对每种面值的货币使用不超过两次。比如，在货币的基数 V=10 时，小R想买一件价格为 W=198 的物品，他可以使用两张 100 面值的纸币（即 10^2）和两张 1 面值的纸币（即 10^0），加起来正好是 198。你的任务是帮助判断一个物品价格是否能用这种特殊的货币面值交易规则来完成交易。

思路解析

这个问题可以通过递归搜索来解决。我们可以从最低面值 V^0 开始，尝试为每个面值选择一个“支付”或者“找零”的操作，直至总金额达到物品的价格 W，或者无法满足条件为止。

具体思路：

对于每个货币面值 V^i（从 i=0 开始），我们可以选择：
- 使用 0 张该面值的纸币。
- 使用 1 张该面值的纸币。
- 使用 2 张该面值的纸币。
每次递归，我们将当前选择的纸币数量乘以对应的货币面值，更新当前总金额，并进入下一个面值的选择。
如果某个递归路径的总金额等于 W，则返回“YES”，否则继续递归，直到所有面值都被遍历。
递归的终止条件：
- 当前金额等于 W 时，返回“YES”。
- 当前金额超过 W 或者没有更多的货币面值可以选择时，返回“NO”。
对于给定的 V 和 W，面值 V^i 的最大 i 取决于 W，因为当 V^i 超过 W 时，后续的面值就不再需要考虑。

解题代码

def solution(V, W):
    def dfs(index, current_value):
        if current_value == W:
            return True

        # 如果当前金额已经超过 W 或者没有更多面值可选，返回 False
        if current_value > W or index > max_index:
            return False

        for a in range(3):  
            for b in range(3):  
                diff = (a - b) * (V ** index)  

                if dfs(index + 1, current_value + diff):
                    return True

        return False

    max_index = 0
    if V == 1:
        return "YES"
    else:

        while V ** max_index <= W:
            max_index += 1

        return "YES" if dfs(0, 0) else "NO"

if __name__ == "__main__":
    # Add your test cases here
    print(solution(10, 9) == "YES")
    print(solution(200, 40199) == "YES")
    print(solution(108, 50) == "NO")

解题思路详解

递归函数 dfs(index, current_value) ：
- index表示当前递归到的货币面值指数（即 V^index）。
- current_value表示当前使用这些货币纸币后得到的金额。
递归函数的工作原理是：
- 判断当前金额是否等于物品的价格 W。如果是，则返回 True，表示找到了一个解。
- 如果当前金额大于 W，或者已经没有更多面值可以选择，则返回 False。
- 否则，对于当前面值，枚举使用 0、1 或 2 张纸币和找零纸币的情况。对于每一种情况，递归进入下一个面值的选择。
最大指数的确定：

由于 V^index 的值随着指数增大而增大，我们可以通过不断增加 index，直到 V^index 大于 W 为止。这样，我们确保了我们只考虑对目标金额有贡献的货币面值。
特殊情况：

如果 V == 1，所有面值都为 1，那么无论W为多少都可以实现，因为面值是 V^0, V^1, V^2, ..., V^n，其中 n 可以无限大，则可以直接返回 "YES"。

复杂度分析

时间复杂度：
- 由于递归需要遍历所有可能的选择，面值的选择范围为 0 ≤ a, b ≤ 2，而递归的最大深度取决于 V^index 的大小。
- 最大指数 max_index 满足 V^max_index <= W，因此最大递归深度大约为 log_V(W)，即递归次数与 W 的对数成正比。
- 对于每个递归层，最多有 9 种选择（3 种选择纸币 * 3 种选择找零纸币）。因此，递归的总复杂度大约为 O(9^log_V(W))，即指数级别的时间复杂度。
空间复杂度：

递归栈的深度为 log_V(W)，因此空间复杂度为 O(log_V(W))。

感受与注意事项

边界情况：
- 当 V == 1 时，只有面值为 1 的纸币，交易金额随意，需要特别处理这种特殊情况。
- 对于非常小的 W（如 W < V），我们需要确保递归不会越界，并且可以正确判断是否能通过较小的面值组合来达到目标金额。
代码健壮性：

应该考虑各种边界情况，例如 W=0，W 很大，V=1，V 很大等特殊情况，确保代码的健壮性。

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