45. 最少步数归零问题

题目分析

我们的问题是将一个数组中的所有正整数变为0，最小化删除数字所需的步数。每次操作允许删除一个数的任意一位。

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解题思路

1. 删除数字的本质

   • 每个数字有 ( \text{len}(num) ) 个字符，将其逐步删除为 0 的过程需要 ( \text{len}(num) ) 步。
   • 对于一个数组中的所有数字，总步数就是所有数字的位数之和。

2. 如何计算最小步数

   • 遍历数组中的每个数字，将其转换为字符串，计算字符串的长度，累加到总步数中。

3. 优化点

   • 数字的位数可通过对每个数字直接使用字符串长度 ( \text{len}(num) )，无需逐位操作。

4. 算法复杂度

   • 时间复杂度：( O(n \cdot k) )，其中 ( n ) 是数组长度，( k ) 是数字的平均位数。
   • 空间复杂度：( O(1) )，只需记录总步数的变量。

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代码实现

以下是 C++ 实现：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
using namespace std;

// 求解最少步数
int solution(int n, vector<int>& a) {
    int total_steps = 0; // 总步数
    
    // 遍历数组中的每个数字
    for (int num : a) {
        // 将数字转为字符串，并累加位数
        string num_str = to_string(num);
        total_steps += num_str.size(); // 每位都需要一步删除
    }
    
    return total_steps;
}

int main() {
    // 测试用例
    vector<int> a1 = {10, 13, 22, 100, 30};
    cout << solution(5, a1) << endl; // 输出：7

    vector<int> a2 = {5, 50, 505};
    cout << solution(3, a2) << endl; // 输出：4

    vector<int> a3 = {1000, 1, 10, 100};
    cout << solution(4, a3) << endl; // 输出：4

    return 0;
}

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代码解析

1. 核心逻辑

   • 使用 to_string(num) 将数字转为字符串，获取字符串的长度（即数字的位数）。
   • 每个数字的位数累加到总步数中。

2. 关键点

   • 数字转换为字符串可以直接获取位数，而不需要逐位操作或除法。
   • 总步数是简单的累加过程，无需复杂的条件判断。

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测试结果

示例 1

• 输入：( n = 5, a = [10, 13, 22, 100, 30] )
• 解析：
  • 10 → 2 位
  • 13 → 2 位
  • 22 → 2 位
  • 100 → 3 位
  • 30 → 2 位
  • 总步数：( 2 + 2 + 2 + 3 + 2 = 7 )
• 输出：7

示例 2

• 输入：( n = 3, a = [5, 50, 505] )
• 解析：
  • 5 → 1 位
  • 50 → 2 位
  • 505 → 3 位
  • 总步数：( 1 + 2 + 3 = 4 )
• 输出：4

示例 3

• 输入：( n = 4, a = [1000, 1, 10, 100] )
• 解析：
  • 1000 → 4 位
  • 1 → 1 位
  • 10 → 2 位
  • 100 → 3 位
  • 总步数：( 4 + 1 + 2 + 3 = 10 )
• 输出：10

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总结

1. 方法概述

   • 遍历数组，逐个统计数字的位数并累加。
   • 时间复杂度低，易于实现。

2. 应用场景

   • 适用于需要统计或操作数字字符数的问题。

3. 优化潜力

   • 数字位数可以直接通过数学计算 ( \text{floor}(\log_{10}(\text{num}) + 1) ) 获取，避免字符串转换。