题目解析
题目描述
小R最近遇到了一个数组问题。他有一个包含 N 个元素的数组 a[1], a[2], ..., a[N]。为了分析这个数组的特性，小R定义了两个函数 L(i) 和 R(i)，并希望通过这两个函数来找到一些有趣的结论。
-
L(i) 是满足以下条件的最大的
j值：j < ia[j] > a[i]
如果找不到这样的
j，则L(i) = 0。如果有多个满足条件的j，选择离i最近的那个。 -
R(i) 是满足以下条件的最小的
k值：k > ia[k] > a[i]
如果找不到这样的
k，则R(i) = 0。如果有多个满足条件的k，选择离i最近的那个。
最终，小R定义了 MAX(i) = L(i) * R(i)，他想知道在 1 ≤ i ≤ N 的范围内，MAX(i) 的最大值是多少。
示例
示例1
输入：
n = 5, array = [5, 4, 3, 4, 5]
输出：
8
示例2
输入：
n = 6, array = [2, 1, 4, 3, 6, 5]
输出：
15
示例3
输入：
n = 7, array = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
输出：
0
思路分析
我们需要计算每个位置的 L(i) 和 R(i) 值，然后计算 MAX(i) = L(i) * R(i)，并找出所有 MAX(i) 中的最大值。
计算 L(i)
- L(i) 是寻找在
i前面的第一个比a[i]大的元素的索引。可以通过单调栈来实现。 - 我们使用一个栈，从左到右扫描数组，维护一个递减栈。栈中存储的是数组元素的索引，当遇到当前元素时，我们会依次弹出栈中的索引，直到栈顶元素大于当前元素。
计算 R(i)
- R(i) 是寻找在
i后面的第一个比a[i]大的元素的索引。可以通过单调栈来实现。 - 我们使用一个栈，从右到左扫描数组，维护一个递减栈。栈中存储的是数组元素的索引，当遇到当前元素时，我们会依次弹出栈中的索引，直到栈顶元素大于当前元素。
计算最大值
- 遍历
L(i)和R(i)数组，计算L(i) * R(i)，并记录最大值。
代码实现
def solution(n, array):
# 初始化L和R数组
L = [0] * n
R = [0] * n
# 单调栈寻找L(i)
stack = []
for i in range(n):
while stack and array[stack[-1]] <= array[i]:
stack.pop()
if stack:
L[i] = stack[-1] + 1 # 索引从1开始
stack.append(i)
# 清空栈用于计算R(i)
stack = []
for i in range(n-1, -1, -1):
while stack and array[stack[-1]] <= array[i]:
stack.pop()
if stack:
R[i] = stack[-1] + 1 # 索引从1开始
stack.append(i)
# 计算MAX(i)的最大值
max_value = 0
for i in range(n):
max_value = max(max_value, L[i] * R[i])
return max_value
代码说明
- L(i) 计算：
使用单调栈从左到右遍历数组。栈中存储的是元素的索引，栈保持递减顺序。当遇到一个元素时，栈顶的元素就是第一个大于该元素的索引，从而得到L(i)。 - R(i) 计算：
使用单调栈从右到左遍历数组。与计算L(i)类似，栈保持递减顺序，栈顶元素就是第一个大于当前元素的索引，从而得到R(i)。 - 计算最大值：
遍历L(i)和R(i)数组，计算L(i) * R(i)并找出最大值。
时间复杂度
- 时间复杂度：
O(n)。每一张卡牌的L(i)和R(i)的计算都使用单调栈，因此每张卡牌仅会入栈和出栈一次，时间复杂度为O(n)。 - 空间复杂度：
O(n)，我们使用了两个数组L和R，每个数组的长度都是n。
边界情况
- 数组为空：如果
n = 0，则返回0。 - 所有元素相同：如果数组中所有元素都相同，
L(i)和R(i)都为0，则MAX(i)的最大值为0。 - 数组是递增的：如果数组是递增的，则
L(i) = 0，R(i)为i+1，最终的最大值为0。 - 数组是递减的：如果数组是递减的，则
L(i)为i，R(i) = 0，最终的最大值为0。
示例分析
示例1
输入：
n = 5, array = [5, 4, 3, 4, 5]
输出：
8
解释：对于 i = 4，L(4) = 3，R(4) = 5，因此 MAX(4) = 3 * 5 = 15，但是最终的最大值为 8。
示例2
输入：
n = 6, array = [2, 1, 4, 3, 6, 5]
输出：
15
示例3
输入：
n = 7, array = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
输出：
0
解释：因为数组是递增的，所以没有符合条件的 L(i) 和 R(i)。
通过单调栈的巧妙运用，这个问题能在 O(n) 时间复杂度内高效求解。
