0，1背包最大价值问题
问题描述
一个旅行者外出旅行时需要将 n 件物品装入背包，背包的总容量为 m。每个物品都有一个重量和一个价值。你需要根据这些物品的重量和价值，决定如何选择物品放入背包，使得在不超过总容量的情况下，背包中物品的总价值最大。
给定两个整数数组 weights 和 values，其中 weights[i] 表示第 i 个物品的重量，values[i] 表示第 i 个物品的价值。你需要输出在满足背包总容量为 m 的情况下，背包中物品的最大总价值。
测试样例
样例1：
输入：
n = 3 ,weights = [2, 1, 3] ,values = [4, 2, 3] ,m = 3
输出：6
样例2：
输入：
n = 4 ,weights = [1, 2, 3, 2] ,values = [10, 20, 30, 40] ,m = 5
输出：70
样例3：
输入：
n = 2 ,weights = [1, 4] ,values = [5, 10] ,m = 4
输出：10
思路解析
-
定义状态：我们可以使用一个二维数组
dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时的最大价值。 -
状态转移方程：
- 如果不选择第
i个物品，那么dp[i][j] = dp[i-1][j]。 - 如果选择第
i个物品，那么dp[i][j] = dp[i-1][j-weights[i]] + values[i]。 - 最终的状态转移方程为：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weights[i]] + values[i])。
- 如果不选择第
-
初始化：
dp[0][j]应该初始化为0，因为没有任何物品时，最大价值为0。 -
最终结果：
dp[n][m]即为所求的最大价值。
解题代码
def solution(n: int, weights: list, values: list, m: int) -> int:
# 初始化一个 (n+1) x (m+1) 的二维数组 dp，初始值为0
dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
# 遍历每个物品
for i in range(1, n + 1):
for j in range(m + 1):
# 如果当前物品的重量小于等于背包容量
if weights[i - 1] <= j:
# 选择当前物品和不选择当前物品的最大值
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weights[i - 1]] + values[i - 1])
else:
# 不选择当前物品
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
# 返回最大价值
return dp[n][m]
复杂度分析
时间复杂度分析
当前代码使用了动态规划的方法来解决0/1背包问题。具体的时间复杂度分析如下：
- 外层循环：遍历每个物品，循环次数为
n。 - 内层循环：遍历每个可能的背包容量，循环次数为
m。
因此，总的时间复杂度为 O(n * m)，其中 n 是物品的数量，m 是背包的容量。
空间复杂度分析
当前代码使用了一个二维数组 dp 来存储中间结果。具体的空间复杂度分析如下：
- 二维数组
dp：dp的大小为(n+1) x (m+1)，因此空间复杂度为O(n * m)。
总结
- 时间复杂度：
O(n * m) - 空间复杂度：
O(n * m)
总结与思考
状态转移方程：
- 如果不选择第
i个物品，那么dp[i][j] = dp[i-1][j]。 - 如果选择第
i个物品，那么dp[i][j] = dp[i-1][j-weights[i]] + values[i]。 - 最终的状态转移方程为：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weights[i]] + values[i])。
