问题描述
小C拿到了一个数组，她定义一个数组的权值为数组中任意选取两个数的异或之和。具体来说，对于一个数组，每个连续子数组的任意两元素的异或值之和定义为其权值。她想知道该数组中所有可能的连续子数组的权值之和是多少，答案需要对10^9 + 7取模。
问题理解
我们需要计算一个数组中所有可能的连续子数组的权值之和。具体来说，权值定义为每个连续子数组中任意两元素的异或值之和。最终答案需要对 10^9 + 7 取模。
数据结构选择
由于涉及到异或操作，我们可以考虑按位来处理问题。每个元素的二进制表示可以帮助我们更好地理解和计算异或值。
算法步骤
- 按位处理：我们可以逐位（从低位到高位）来处理数组中的元素。对于每一位，我们计算所有可能的连续子数组在该位上的贡献。
- 统计贡献：对于每一位，我们需要统计在该位上为
1和为0的元素的数量。通过这些统计信息，我们可以计算出所有可能的连续子数组在该位上的异或值之和。 - 累加结果：将每一位的贡献累加起来，最终得到整个数组的权值之和。
具体步骤
-
初始化：初始化一个变量
ans用于存储最终结果，初始值为0。 -
逐位处理：对于每一位
k（从0到31，因为10^9的二进制表示最多有 31 位）：- 初始化两个计数器
c[0]和c[1]，分别用于统计当前位为0和为1的元素数量。 - 遍历数组中的每个元素，计算当前位上的贡献，并更新计数器。
- 将当前位的贡献累加到
ans中。
- 初始化两个计数器
-
取模：在每次累加时，对结果取模
10^9 + 7，以防止溢出。
如何计算每个子数组的权值的？
代码分析
逐行解释
- 初始化：
- `assert n == len(a)`：确保输入的数组长度与 `n` 一致。
- `mod = int(1e9 + 7)`：定义取模的值为 `10^9 + 7`。
- `m = 31`：定义二进制位数为 31，因为 `10^9` 的二进制表示最多有 31 位。
- `ans = 0`：初始化最终结果 `ans` 为 0。
2. 逐位处理：
- `for k in range(m)`：遍历每一位（从第 0 位到第 30 位）。
- `c = [0, 0]`：初始化两个计数器 `c[0]` 和 `c[1]`，分别用于统计当前位为 `0` 和为 `1` 的元素数量。
- `s = 0`：初始化当前位的贡献 `s` 为 0。
3. 遍历数组：
- `for j, x in enumerate(a)`：遍历数组中的每个元素 `x`，并记录其索引 `j`。
- `b = (x >> k) & 1`：计算当前元素 `x` 在第 `k` 位上的值（0 或 1）。
- `s = (s + c[1 - b] * (n - j)) % mod`：计算当前位的贡献。`c[1 - b]` 是当前位为 `1 - b` 的元素数量，`(n - j)` 是当前元素之后的元素数量。
- `c[b] = (c[b] + j + 1) % mod`：更新当前位为 `b` 的元素数量。`j + 1` 表示当前元素及其之前的元素数量。
4. 累加结果：
-
ans = (ans + (s << k)) % mod：将当前位的贡献 s 左移 k 位（相当于乘以 2^k），并累加到最终结果 ans 中。
- 返回结果：
-
return ans：返回最终结果。
代码提示
关键步骤解释
- 初始化计数器：
c = [0, 0]
- `c[0]` 和 `c[1]` 分别用于统计当前位为 `0` 和 `1` 的元素数量。
2. 计算当前位的贡献：
-
c[1 - b] 是当前位为 1 - b 的元素数量。
- (n - j) 是当前元素之后的元素数量。
- 这一步计算当前位的贡献，并累加到 s 中。
- 更新计数器：
- `c[b]` 是当前位为 `b` 的元素数量。
- `j + 1` 表示当前元素及其之前的元素数量。
- 这一步更新当前位为 `b` 的元素数量。
4. 累加当前位的贡献到最终结果：
- `s << k` 将当前位的贡献 `s` 左移 `k` 位（相当于乘以 `2^k`）。
- 这一步将当前位的贡献累加到最终结果 `ans` 中。
总结
通过逐位处理数组中的元素，计算每个位上的贡献，并累加到最终结果中。具体步骤如下：
- 初始化结果和计数器。
- 逐位遍历数组中的元素，计算当前位的贡献。
- 更新计数器并累加当前位的贡献。
- 返回最终结果。
