问题描述
小M有 n 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面是 ai，背面是 bi。小M希望通过选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。你需要告诉小M，一共有多少种不同的方案可以满足这个条件。由于可能的方案数量过大，结果需要对 10^9+7 取模。
例如：如果有3张卡牌，正反面数字分别为 (1,2)，(2,3) 和 (3,2)，你需要找到所有满足这3张卡牌正面或背面朝上的数字之和可以被3整除的组合数。
分析
对于这个问题，我们可以使用动态规划的方法来解决：
我们可以定义一个三维数组 dp[i][j][k]，其中 i 表示前 i 张卡牌，j 表示当前所有选择数字之和模3的结果，k 表示当前选择的数字个数。
对于每张卡牌，我们可以选择正面或背面，这会影响当前的总和以及选择的数字个数。我们需要根据卡牌的正反两面数字来更新 dp 数组。
dp[0][0][0] = 1，表示没有选择任何卡牌时，总和为0，有1种方案。
最终我们需要计算的是 dp[n][0][n]，即考虑所有卡牌后，数字之和模3为0，且选择了所有卡牌的方案数。
MOD = 10**9 + 7
def solution(n: int, a: list, b: list) -> int:
# write code here
# 初始化动态规划数组
dp = [[[0 for _ in range(n+1)] for _ in range(3)] for _ in range(n+1)]
dp[0][0][0] = 1 # 初始状态，没有选择任何卡牌，和为0
for i in range(1, n+1):
for j in range(3):
for k in range(i):
# 不选择当前卡牌的正面
dp[i][j][k] = (dp[i][j][k] + dp[i-1][j][k]) % MOD
# 选择当前卡牌的正面
new_j = (j + a[i-1] % 3) % 3
dp[i][new_j][k+1] = (dp[i][new_j][k+1] + dp[i-1][j][k]) % MOD
# 选择当前卡牌的背面
new_j = (j + b[i-1] % 3) % 3
dp[i][new_j][k+1] = (dp[i][new_j][k+1] + dp[i-1][j][k]) % MOD
return dp[n][0][n]
- 遍历卡牌：外层循环
for i in range(1, n+1)遍历每张卡牌。 - 遍历和模3的结果：中层循环
for j in range(3)遍历所有可能的和模3的结果（0, 1, 2）。 - 遍历选择的数字个数：内层循环
for k in range(i)遍历所有可能的选择数字个数。注 意，这里不包括i，因为我们至少要选择一张卡牌的一面。 - 不选择当前卡牌的正面：
dp[i][j][k]的值增加dp[i-1][j][k]，表示不选择当前卡牌的正面，保持当前和模3的结果和选择的数字个数不变。 - 选择当前卡牌的正面：计算新的和模3的结果
new_j，并更新dp[i][new_j][k+1]，表示选择当前卡牌的正面，更新和模3的结果，并增加选择的数字个数。 - 选择当前卡牌的背面：同样计算新的和模3的结果
new_j，并更新dp[i][new_j][k+1]，表示选择当前卡牌的背面，更新和模3的结果，并增加选择的数字个数。 - 返回结果：最后返回
dp[n][0][n]，这表示考虑所有n张卡牌，和为0（能被3整除）
总结、比较
我们使用了动态规划，这与题库里“小E的怪物挑战”这道题的基本思路一致，最大区别是维度不同。通过两次相似的训练，我们可以熟悉动态规划的用途、用法，灵活解决问题。
