题目背景：
小U是一位古生物学家，正在研究不同物种之间的血缘关系。为了分析两种古生物的血缘远近，她需要比较它们的DNA序列。DNA由四种核苷酸A、C、G、T组成，并且可能通过三种方式发生变异：添加一个核苷酸、删除一个核苷酸或替换一个核苷酸。小U认为两条DNA序列之间的最小变异次数可以反映它们之间的血缘关系：变异次数越少，血缘关系越近。
任务： 编写一个算法，帮助小U计算两条DNA序列之间所需的最小变异次数。
思路分析
问题定义：
输入：两条DNA序列 dna1 和 dna2。
输出：两条DNA序列之间的最小变异次数。
变异类型：
- 添加一个核苷酸。
- 删除一个核苷酸。
- 替换一个核苷酸。
算法选择：
- 使用动态规划（Dynamic Programming, DP）来解决这个问题。动态规划是一种通过将问题分解为子问题，并存储子问题的解来避免重复计算的方法。
状态定义：
dp[i][j] 表示dna1的前i个字符和dna2的前j个字符之间的最小变异次数。
状态转移方程：
- 如果
dna1[i-1] == dna2[j-1]，则 dp[i][j] = dp[i-1][j-1]。 - 否则，
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1。
边界条件：
dp[i][0]表示dna1的前i个字符和空字符串之间的最小变异次数，即i。dp[0][j]表示空字符串和dna2的前j个字符之间的最小变异次数，即j。
代码详解
def solution(dna1, dna2):
m, n = len(dna1), len(dna2)
dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
# 初始化边界条件
for i in range(m + 1):
dp[i][0] = i
for j in range(n + 1):
dp[0][j] = j
# 动态规划填充表格
for i in range(1, m + 1):
for j in range(1, n + 1):
if dna1[i - 1] == dna2[j - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
else:
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1]) + 1
return dp[m][n]
代码解析
初始化：
dp是一个二维数组，用于存储子问题的解。dp[i][0]和dp[0][j]分别初始化为i和j，表示添加或删除字符的次数。
动态规划填充：
- 遍历
dna1和dna2的每个字符。 - 如果字符相同，则
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]。 - 如果字符不同，则
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1。
返回结果：
dp[m][n] 即为dna1和dna2之间的最小变异次数。
测试用例
solution("AGT", "AGCT")应返回1。solution("", "ACGT")应返回4。solution("GCTAGCAT", "ACGT")应返回5。
总结
通过动态规划，我们可以高效地计算两条DNA序列之间的最小变异次数，从而帮助小U分析不同物种之间的血缘关系。动态规划不仅解决了这个问题，还为我们提供了一种通用的解决问题的方法，适用于许多其他类似的问题。
