豆包刷题：DNA序列编辑距离

问题描述

小R正在研究DNA序列，他需要一个函数来计算将一个受损DNA序列（dna1）转换成一个未受损序列（dna2）所需的最少编辑步骤。编辑步骤包括：增加一个碱基、删除一个碱基或替换一个碱基。

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测试样例

样例1：

输入：dna1 = "AGT",dna2 = "AGCT"
输出：1

样例2：

输入：dna1 = "AACCGGTT",dna2 = "AACCTTGG"
输出：4

样例3：

输入：dna1 = "ACGT",dna2 = "TGC"
输出：3

样例4：

输入：dna1 = "A",dna2 = "T"
输出：1

样例5：

输入：dna1 = "GGGG",dna2 = "TTTT"
输出：4

思路

1. 定义状态：

   • 设 dp[i][j] 表示将 dna1 的前 i 个字符转换为 dna2 的前 j 个字符所需的最少操作次数。

2. 状态转移：

   • 插入操作：如果我们将 dna1[0..i] 转换为 dna2[0..j-1]，然后插入 dna2[j-1]，那么 dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1。
   • 删除操作：如果我们将 dna1[0..i-1] 转换为 dna2[0..j]，然后删除 dna1[i-1]，那么 dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1。
   • 替换操作：如果 dna1[i-1] 和 dna2[j-1] 相同，不需要操作，所以 dp[i][j] = dp[i-1][j-1]；如果不同，则需要进行替换操作，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。

3. 初始化：

   • dp[i][0] = i：将 dna1 的前 i 个字符转换为空串需要 i 次删除操作。
   • dp[0][j] = j：将空串转换为 dna2 的前 j 个字符需要 j 次插入操作。

4. 最终结果：

   • dp[len(dna1)][len(dna2)] 即为将 dna1 转换为 dna2 的最少操作次数。

时间复杂度与空间复杂度分析

1. 时间复杂度：O(m * n)，其中 m 是 dna1 的长度，n 是 dna2 的长度。我们需要填充一个 m x n 的动态规划表，对于每一个位置，我们只做常数时间的操作。因此时间复杂度为 O(m * n)。
2. 空间复杂度：O(m * n)，用于存储 DP 表。我们为每一对 i 和 j 计算最小编辑距离，需要一个 m x n 的二维数组来存储中间结果。如果希望节省空间，可以使用滚动数组来优化，将空间复杂度降至 O(min(m, n))。

优化空间复杂度

对于较长的序列，如果只是关注最终结果而不需要保留整个 DP 表的中间状态，可以通过滚动数组来减少空间开销。

在每一步，只需要保存当前行和上一行的数据。因此可以将空间复杂度优化为 O(min(m, n))，从而节省内存。

总结

动态规划方法是解决编辑距离问题的经典方式，通过递归分解原问题为子问题并存储中间结果，避免重复计算，达到了高效的时间复杂度 O(m * n)。空间复杂度方面，初步实现需要 O(m * n) 空间，但可以通过优化将空间复杂度降低。