题解：小M的好二叉树

题解：小M的好二叉树

问题描述

小M定义了一种特殊的二叉树，称之为“好二叉树”。当且仅当这个二叉树中的所有节点的孩子数量为偶数（即每个节点要么没有孩子，要么有两个孩子），该二叉树才被称为好二叉树。

现在，小M想知道，给定 n 个节点，可以构成多少种不同形态的好二叉树？答案需要对 10^9 + 7 取模。

问题理解

我们需要计算给定 n 个节点可以构成多少种不同形态的好二叉树。好二叉树的定义是每个节点要么没有孩子，要么有两个孩子。这意味着树的节点数 n 必须是奇数，因为每个节点要么是叶子节点（0个孩子），要么是内部节点（2个孩子）。

数据结构选择

由于我们需要计算不同形态的树的数量，动态规划（DP）是一个合适的选择。我们可以使用一个数组 dp 来存储不同节点数 n 对应的树的数量。

算法步骤

1. 初始化：当 n = 1 时，只有一种树形态（单个节点），所以 dp[1] = 1。
2. 状态转移：对于每个奇数 n，我们可以通过选择一个根节点，然后将其余的 n-1 个节点分配给左子树和右子树。左子树和右子树的节点数之和必须是 n-1，并且它们都必须是奇数。
3. 计算：我们可以通过遍历所有可能的左子树节点数 k（从1到 n-2，步长为2），然后计算右子树的节点数 n-1-k，并累加所有可能的组合数。

def solution(n: int) -> int:
    MOD = 10**9 + 7
    if n % 2 == 0:
        return 0  # 偶数节点无法构成好二叉树
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[1] = 1  # 初始化
    # 填充dp数组
    for i in range(3, n + 1, 2):
        for k in range(1, i, 2):
            dp[i] += dp[k] * dp[i - 1 - k]
            dp[i] %= MOD
    return dp[n]

if __name__ == '__main__':
    print(solution(5) == 2)
    print(solution(7) == 5)
    print(solution(9) == 14)

动态规划解题思路总结

动态规划（Dynamic Programming, DP）是一种通过将问题分解为子问题并存储子问题的解来解决复杂问题的方法。以下是动态规划解题的一般思路：

1. 定义状态：

   • 确定问题的状态表示。通常使用一个或多个数组来存储子问题的解。
   • 例如，在本题中，dp[i] 表示有 i 个节点时可以构成的好二叉树的数量。

2. 初始化：

   • 初始化基本状态的值。这些基本状态通常是问题中最简单的情况。
   • 例如，在本题中，dp[1] = 1，因为只有一个节点时只有一种树形态。

3. 状态转移方程：

   • 找到状态之间的关系，即如何从已知状态推导出未知状态。
   • 例如，在本题中，dp[i] 可以通过组合左子树和右子树的节点数来计算。

4. 计算顺序：

   • 确定计算状态的顺序，确保在计算某个状态时，其依赖的状态已经计算完成。
   • 例如，在本题中，我们从 3 开始，以步长 2 递增计算 dp[i]。

5. 返回结果：

   • 根据问题的要求，返回最终的结果。
   • 例如，在本题中，返回 dp[n]，即有 n 个节点时的好二叉树数量。

相似题目

以下是一些与本题相似的动态规划题目，它们都涉及到树的形态计数或组合问题：

1. 不同的二叉搜索树：

   • 问题描述：给定 n，计算所有可能的二叉搜索树的数量。
   • 相似点：与本题类似，需要计算不同形态的树的数量，使用动态规划来解决。

2. 不同的二叉树形态：

   • 问题描述：给定 n，计算所有可能的二叉树的数量。
   • 相似点：与本题类似，需要计算不同形态的树的数量，使用动态规划来解决。

3. 不同的二叉树形态（带权值）：

   • 问题描述：给定 n 个节点和每个节点的权值，计算所有可能的二叉树的数量，使得树的总权值满足某个条件。
   • 相似点：与本题类似，需要计算不同形态的树的数量，但增加了权值的约束。

4. 不同的二叉树形态（带高度限制）：

   • 问题描述：给定 n 个节点和树的最大高度 h，计算所有可能的二叉树的数量。
   • 相似点：与本题类似，需要计算不同形态的树的数量，但增加了高度的约束。

总结

动态规划是一种强大的工具，适用于解决许多组合计数问题。通过定义状态、初始化、状态转移方程、计算顺序和返回结果，可以有效地解决这类问题。相似的题目通常涉及树的形态计数或组合问题，可以通过类似的动态规划方法来解决。

希望这些总结和相似题目能帮助你更好地理解和应用动态规划。如果你有任何进一步的问题，请随时提问！