卡牌翻面求和问题
问题描述
小M有 ( n ) 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面是 ( a_i )，背面是 ( b_i )。小M希望通过选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。你需要告诉小M，一共有多少种不同的方案可以满足这个条件。由于可能的方案数量过大，结果需要对10^9+7 取模。
解析
1. 问题分析
这个问题的核心在于如何选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。由于每张卡牌有两种选择（正面或背面），总的组合数是 较大时，直接枚举所有组合是不可行的。因此，我们需要寻找一种高效的解决方案。
2. 动态规划思路
动态规划是一种常用的解决此类问题的方法。我们可以定义一个二维数组 dp[i][j]，其中 i 表示前 i 张卡牌，j 表示当前和模3的结果。dp[i][j] 表示前 i 张卡牌的所有可能组合中，和模3等于 j 的方案数。
3. 初始化
•dp[0][0] = 1：表示没有卡牌时，和为0的方案数为1。
4. 状态转移
对于每一张卡牌，我们有两种选择：选择正面或选择背面。因此，状态转移方程如下：•dp[i][j] += dp[i-1][(j - a[i]) % 3]•dp[i][j] += dp[i-1][(j - b[i]) % 3]这里需要注意，由于 j 是模3的结果，所以 (j - a[i]) % 3 和 (j - b[i]) % 3 都需要取模3的结果。为了避免负数模3的结果，我们可以在减法操作后加上3再取模3。
5. 结果
最终结果是 dp[n][0]，即前 n 张卡牌的所有可能组合中，和模3等于0的方案数。
JAVA实现
public class CardFlipSumProblem {
private static final int MOD = 1000000007;
public static int countWays(int n, int[] a, int[] b) {
int[] dp = new int[3];
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int[] newDp = new int[3];
for (int j = 0; j < 3; j++) {
newDp[j] = (dp[(j - a[i] + 3) % 3] + dp[(j - b[i] + 3) % 3]) % MOD;
}
dp = newDp;
}
return dp[0];
}
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int[] a = new int[n];
int[] b = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
a[i] = scanner.nextInt();
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
b[i] = scanner.nextInt();
}
int result = countWays(n, a, b);
System.out.println(result);
scanner.close();
}
}
代码解释
- 初始化：•dp[0][0] = 1：表示没有卡牌时，和为0的方案数为1。
- 状态转移：•对于每一张卡牌，计算选择正面和背面两种情况下的和模3的结果，并更新 dp 数组。•注意，为了避免负数模3的结果，我们在减法操作后加上3再取模3。
- 结果：•最终结果是 dp[n][0]，即前 n 张卡牌的所有可能组合中，和模3等于0的方案数。
复杂度分析
•时间复杂度：O(n * 3) = O(n)，因为我们只需要遍历每一张卡牌，并且每次更新3个状态。•空间复杂度：O(n * 3) = O(n)，因为我们使用了一个二维数组来存储中间结果。
总结
通过动态规划的方法，我们可以高效地解决卡牌翻面求和问题。这个方法不仅能够处理较大的输入规模，而且代码实现相对简单，易于理解和维护。希望这篇文章能够帮助你更好地理解和解决这类问题。动态规划的思想在许多组合优化问题中都非常有用，掌握这种思想将有助于解决更多类似的问题。
