简单题32 二分数字组合简单dp | 豆包MarsCode AI刷题问题描述小F面临一个有趣的挑战：给定一个数组，她

问题描述

小F面临一个有趣的挑战：给定一个数组，她需要将数组中的数字分为两组。分组的目标是使得一组数字的和的个位数等于给定的 A，另一组数字的和的个位数等于给定的 B。除此之外，还有一种特殊情况允许其中一组为空，但剩余数字和的个位数必须等于 A 或 B。小F需要计算所有可能的划分方式。

例如，对于数组 [1, 1, 1] 和目标 A = 1，B = 2，可行的划分包括三种：每个 1 单独作为一组，其余两个 1 形成另一组。如果 A = 3，B = 5，当所有数字加和的个位数为 3 或 5 时，可以有一组为非空，另一组为空。

测试样例

样例1：

输入：n = 3,A = 1,B = 2,array_a = [1, 1, 1]
输出：3

样例2：

输入：n = 3,A = 3,B = 5,array_a = [1, 1, 1]
输出：1

样例3：

输入：n = 2,A = 1,B = 1,array_a = [1, 1]
输出：2

样例4：

输入：n = 5,A = 3,B = 7,array_a = [2, 3, 5, 7, 9]
输出：0

解题思路

先总体求和判断是哪种情况，然后套用0-1背包模板代码

0-1背包

0-1背包问题是一个经典的动态规划问题，它描述了这样一个场景：给定一组物品，每个物品都有一个重量和一个价值，确定在不超过背包容量限制的情况下，所装物品的最大价值。

问题定义

物品：有 $n$ 个物品，每个物品 $i$ 有一个重量 $w_i$ 和一个价值 $v_i$ 。
背包容量：背包可以承载的最大重量为 $W$ 。
目标：选择一些物品装入背包，使得背包中物品的总价值最大，同时不超过背包的容量限制。

动态规划解法

定义状态：设 $dp[i][j]$ 表示考虑前 $i$ 个物品，背包容量为 $j$ 时的最大价值。
状态转移方程：
- 如果不取第 $i$ 个物品，则 $dp[i][j]=dp[i−1][j]$ 。
- 如果取第 $i$ 个物品（前提是 $j≥w_i$ ），则 $dp[i][j]=dp[i−1][j−w_i]+v_i$
- 综合两种情况，状态转移方程为：
  
  $dp[i][j]=max⁡(dp[i−1][j],dp[i−1][j−w_i]+v_i)$
初始化： $dp[0][j]=0$ 对所有 $j$ ，因为没有物品时价值为 $0$ 。
计算顺序：按照 $i$ 从 $1$ 到 $n$ ， $j$ 从 $0$ 到 $W$ 的顺序填充 $dp$ 表。

0-1背包模板

def knapsack(W, w, v):
    n = len(w)
    dp = [[0 for _ in range(W+1)] for _ in range(n+1)]
    
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(W+1):
            if j < w[i-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]] + v[i-1])
    
    return dp[n][W]

# 示例
W = 50  # 背包容量
w = [10, 20, 30]  # 物品重量
v = [60, 100, 120]  # 物品价值
print(knapsack(W, w, v))  # 输出最大价值

解题代码

def solution(n, A, B, array_a):
    array_sum = 0
    res = 0
    for i in range(n):
        array_a[i] = array_a[i] % 10
        array_sum += array_a[i]
    if array_sum % 10 == A or array_sum % 10 == B:
        res += 1
    if array_sum % 10 != (A + B) % 10:
        return res
    array_a.sort()
    array_a.reverse()
    dp = [0] * (10 * n + 1)
    dp[0] = 1
    for i in range(n):
        for j in range(10 * n, 0, -1):
            if j >= array_a[i]:
                dp[j] += dp[j - array_a[i]]
    for i in range(A, 10 * n + 1, 10):
        res += dp[i]
    return res

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