豆包MarsCode AI刷题记录——题目解析
问题描述
小C希望构造一个包含n个元素的数组，且满足以下条件：
- 数组中的所有元素两两不同。
- 数组所有元素的最大公约数为
k。 - 数组元素之和尽可能小。
任务是输出该数组元素之和的最小值。
题目解析
关键思路：
- 元素的最大公约数为 k：如果数组中所有的元素的最大公约数是
k，那么所有元素都可以写成k * x_i的形式，其中x_i是整数，而且x_1, x_2, ..., x_n都是互不相同的。 - 数组元素两两不同：为确保元素两两不同，我们可以选择一组不同的
x_i，通常选取从 1 到 n 的自然数作为x_i，即x_1 = 1, x_2 = 2, ..., x_n = n。 - 元素之和尽可能小：为了使元素之和尽可能小，我们可以选择最小的可能值，即
x_1, x_2, ..., x_n的值直接取从 1 到 n 的自然数。这样，数组元素之和为1 + 2 + ... + n，这是从 1 到 n 的等差数列的和，公式为n * (n + 1) // 2。 - 最终数组元素之和：由于每个数组元素是
k * x_i形式，因此整个数组的元素之和就是k * (1 + 2 + ... + n)，也就是k * (n * (n + 1) // 2)。
代码详解
def solution(n: int, k: int) -> int:
# 计算 1 + 2 + ... + n 的和
sum_n = n * (n + 1) // 2
# 数组元素之和为 k * (1 + 2 + ... + n)
return k * sum_n
if __name__ == '__main__':
print(solution(n = 3, k = 1) == 6)
print(solution(n = 2, k = 2) == 6)
print(solution(n = 4, k = 3) == 30)
知识点总结
1. 最大公约数（GCD）
- 定义：最大公约数是指两个或多个整数的共有约数中最大的一个。在这道题中，要求数组中的所有元素的最大公约数为
k。 - 应用：通过将数组中的元素表示为
k * x_i，可以确保数组元素的最大公约数是k。这样，只要x_1, x_2, ..., x_n互不相同，就能够满足题目的要求。
2. 等差数列求和公式
- 定义：等差数列是指一系列数字之间的差是固定的，通常我们表示为
a, a+d, a+2d, ..., a + (n-1)d。对于从 1 到 n 的自然数，它是一个公差为 1 的等差数列。 - 公式：从 1 到 n 的自然数之和可以通过公式求得
- 应用：题目要求数组元素之和尽可能小，因此可以选择自然数
1, 2, ..., n，其和为n * (n + 1) / 2。这直接利用了等差数列的求和公式。
3. 数组元素的构造
- 题目要求：数组元素的最大公约数为
k，且要求数组元素两两不同。为了满足这些条件，可以选择将数组元素表示为k * x_i，其中x_i是不同的整数，通常选取x_1 = 1, x_2 = 2, ..., x_n = n。 - 技巧：通过构造这样的数组，可以确保元素的最大公约数为
k，同时满足数组元素两两不同。
4. 优化计算
- 时间复杂度：通过直接应用公式计算元素之和，避免了显式地构造数组或进行逐一求和，使得时间复杂度降到 O(1)，即常数时间复杂度。这使得算法非常高效。
- 空间复杂度：由于没有显式地存储整个数组，空间复杂度也是 O(1)，仅使用了常数的额外空间。
5. 数学建模与推导
- 思想：这道题通过数学建模和推导得到了一个非常简洁的解法。通过分析题目中的约束条件，找到了一种最简单、最有效的方式来构造符合要求的数组，并通过数学公式计算出最小的和。这种思想在算法设计中非常常见，尤其是在涉及数论和数学推导时。
6. 代码实现的技巧
- 简洁性与高效性：通过直接计算而不是显式构造数组，代码实现既简洁又高效，避免了不必要的循环和存储操作。直接利用数学公式使得计算非常快速。
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