小u走楼梯问题题解

题目描述

小U最近决定挑战一座非常高的楼梯，每次他可以选择走一步或两步，但有一个重要的限制：他不能连续走两步。因此，小U想知道他总共有多少种不同的方式可以从楼梯的底部走到顶端。

题解思路

这个问题可以使用动态规划来解决。由于小U不能连续走两步，我们需要在状态转移过程中考虑前一步的状态。我们可以定义两个状态：到达某一级楼梯时，最后一步是走一步或两步。

动态规划的状态定义

1. dp[i][0] 表示到达第 i 级楼梯，并且最后一步是走一步的走法总数。
2. dp[i][1] 表示到达第 i 级楼梯，并且最后一步是走两步的走法总数。

状态转移方程

为了确保我们不会连续走两步，我们需要分别计算最后一步是走一步或两步的走法：

• 如果小U最后一步走一步，那么在第 i 级楼梯的走法数量为 dp[i][0] = dp[i-1][1]，因为前一步必须是走两步。
• 如果小U最后一步走两步，那么在第 i 级楼梯的走法数量为 dp[i][1] = dp[i-2][0]，因为前两步必须是走一步。

初始化

我们需要初始化前两个楼梯的状态：

• dp[0][0] = 1，表示在第0级楼梯的唯一一种方式是站在原地。
• dp[0][1] = 0，因为没有走两步到达第0级楼梯的情况。
• dp[1][0] = 1，表示从第0级楼梯走一步到达第1级楼梯的唯一方式。
• dp[1][1] = 0，因为无法从第0级楼梯直接走两步到达第1级楼梯。

总走法

到达第 n 级楼梯的总走法为 dp[n][0] + dp[n][1]。

代码实现

以下是完整的Java代码实现：

java

public class StaircaseChallenge {
    public static void main(String[] args) {
        int n = 10;  // 示例楼梯层数
        System.out.println("不同走法的总数: " + countWays(n));
    }

    public static int countWays(int n) {
        if (n == 0) return 1;
        if (n == 1) return 1;

        int[][] dp = new int[n + 1][2];
        dp[0][0] = 1;
        dp[0][1] = 0;
        dp[1][0] = 1;
        dp[1][1] = 0;

        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i][0] = dp[i-1][1];
            dp[i][1] = dp[i-2][0];
        }

        return dp[n][0] + dp[n][1];
    }
}

代码解释

1. 初始化：

   • 对于第0层和第1层，分别初始化dp数组的值。初始状态下，从第0层到第0层和第1层的走法数量分别为1。

2. 状态转移：

   • 通过遍历每一层，根据最后一步是走一步还是走两步，更新dp数组。
   • dp[i][0]表示最后一步是走一步的情况，等于前一层最后一步是走两步的走法数量。
   • dp[i][1]表示最后一步是走两步的情况，等于前两层最后一步是走一步的走法数量。

3. 计算结果：

   • 返回到达第n层的总走法数量，即dp[n][0] + dp[n][1]。

复杂度分析

时间复杂度

由于我们只需要遍历一次楼梯的所有层数，每一层只进行常数时间的计算，因此时间复杂度为O(n)。

空间复杂度

使用了一个二维数组dp来存储中间状态，因此空间复杂度为O(n)。

总结

通过动态规划的方法，我们可以有效地计算出在给定楼梯层数下，小U有多少种不同的走法。这种方法不仅考虑了不能连续走两步的限制，同时通过状态转移方程确保了计算的准确性和效率。