连续子串和的整除问题
问题描述
小M是一个五年级的小学生，今天他学习了整除的知识，并决定通过一些练习来巩固自己的理解。于是他写下了一个长度为 n 的正整数序列 a_0, a_1, ..., a_{n-1}，并想知道有多少个连续子序列的和能够被一个给定的正整数 b 整除。
解题思路
为了解决这个问题，我们需要计算所有连续子序列的和，并检查其中能被给定正整数 b 整除的子序列个数。为了提高效率，我们采用以下方法：
- 前缀和：通过维护一个前缀和数组，可以快速计算任意子序列的和。
- 取模：如果任意两个前缀和的差值可以被
b整除，则它们对应的子序列和也可以被b整除。 - 哈希表：使用哈希表记录前缀和对
b的模值出现的次数，快速查询已有的前缀和的模值。
具体来说，通过前缀和累加，计算当前前缀和对 b 取模的值。如果这个模值曾经出现过，则说明从之前的某个位置到当前的位置之间的子序列和可以被 b 整除。
代码实现
python
複製程式碼
def solution(n, b, sequence):
# 前缀和
prefix_sum = 0
count = 0
# 记录前缀和模 b 的次数
mod_count = {0: 1} # mod 0 出现 1 次（代表前缀和为0的情况）
for num in sequence:
prefix_sum += num
mod_value = prefix_sum % b
# 由于 Python 的 % 可能返回负值，我们需要调整它为非负
if mod_value < 0:
mod_value += b
# 如果这个模值已经在 map 中，说明有多少个前缀和的差为 b 的倍数
if mod_value in mod_count:
count += mod_count[mod_value]
# 更新 map 中这个模值的出现次数
mod_count[mod_value] = mod_count.get(mod_value, 0) + 1
return count
# 测试用例
if __name__ == "__main__":
print(solution(3, 3, [1, 2, 3])) # 输出: 3
print(solution(4, 5, [5, 10, 15, 20])) # 输出: 10
print(solution(5, 2, [1, 2, 3, 4, 5])) # 输出: 6
代码解释
- 前缀和：在每次迭代中，我们累加当前数字到
prefix_sum中，计算当前子序列的和。 - 模值：计算当前前缀和对
b的模值。由于 Python 的%可能返回负值，我们需要将模值调整为非负数。 - 哈希表：在哈希表中记录每个模值出现的次数。如果某个模值已经存在，则意味着从之前的某个位置到当前位置之间的子序列和能被
b整除。 - 更新次数：每次计算完当前模值后，更新哈希表中的出现次数。
时间复杂度
该算法的时间复杂度为 O(n)，其中 n 是序列的长度。通过使用前缀和和哈希表，我们能够高效地解决问题，避免了直接暴力计算每个子序列和的低效方法。
思考与收获
今天的实验让我深刻意识到，设计不仅仅是技术任务，更是一种在复杂需求中平衡效率、完整性和扩展性的艺术。在实际操作中，每个设计决策都需要考虑到未来的需求变化和可能的优化方向。
