豆包刷题：数组元素之和最小化

问题描述

小C希望构造一个包含n个元素的数组，且满足以下条件：

1. 数组中的所有元素两两不同。
2. 数组所有元素的最大公约数为 k。
3. 数组元素之和尽可能小。

任务是输出该数组元素之和的最小值。

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测试样例

样例1：

输入：n = 3 ,k = 1
输出：6

样例2：

输入：n = 2 ,k = 2
输出：6

样例3：

输入：n = 4 ,k = 3
输出：30

问题分析

1. 最大公约数为 k：

   • 数组中每个元素的最大公约数为 k，也就是说，数组中的每个元素都应该是 k 的倍数。可以将所有元素表示为 k * x 的形式，其中 x 是正整数。

2. 元素两两不同：

   • 数组中的所有元素必须是不同的，这意味着 x 的取值必须是不同的整数。

3. 元素之和尽可能小：

   • 我们需要选择不同的 x，使得数组元素之和最小。

解题思路

1. 选择最小的不同倍数：

   • 为了让元素之和最小，我们应该尽可能选择最小的 x 值。最小的不同正整数是 1, 2, 3, 4, ...。

2. 元素构造：

   • 由于我们要求最大公约数为 k，所以我们可以构造数组元素为 k * 1, k * 2, k * 3, ..., k * n，即数组元素是 k 的倍数。

3. 数组元素之和：

   • 数组的元素是 k, 2k, 3k, ..., nk，其和为：k*n(n + 1)/2

   • 这是因为 1 + 2 + 3 + ... + n 是一个等差数列的求和公式，和为 n(n + 1)/2。

def solution(n: int, k: int) -> int:
    # 从 k 开始，每次增加 k，构造 n 个不同的元素
    elements = [k * (i + 1) for i in range(n)]
    # 返回这些元素的和
    return sum(elements)

if __name__ == '__main__':
    print(solution(n = 3, k = 1) == 6)
    print(solution(n = 2, k = 2) == 6)
    print(solution(n = 4, k = 3) == 30)

解释

• n * (n + 1) // 2 是等差数列的和公式，用来计算从 1 到 n 的所有整数之和。
• 将该和乘以 k 就是数组元素之和的最小值。

测试样例解析

1. 样例1：

   • 输入：n = 3, k = 1
   • 计算：最小的数组是 [1, 2, 3]，元素和为 1 + 2 + 3 = 6，因此输出 6。

2. 样例2：

   • 输入：n = 2, k = 2
   • 计算：最小的数组是 [2, 4]，元素和为 2 + 4 = 6，因此输出 6。

3. 样例3：

   • 输入：n = 4, k = 3
   • 计算：最小的数组是 [3, 6, 9, 12]，元素和为 3 + 6 + 9 + 12 = 30，因此输出 30。

时间复杂度

• 计算和的时间复杂度是 O(1)，因为我们只是做了一个简单的数学计算。

空间复杂度

• 空间复杂度是 O(1)，因为只使用了常数级别的空间。