有限制的楼梯攀登| 豆包MarsCode AI刷题

题目分析

这道题要求计算在给定楼梯层数 n 的情况下，小U从底部到达楼梯顶端的不同走法。每次小U可以选择走一步或两步，但是有一个约束条件：小U不能连续走两步。

例如：

• 在 n = 2 的情况下，小U可以通过以下两种方式走到顶端：

  1. 走一步，走一步（1, 1）
  2. 走两步（2）

• 在 n = 3 的情况下，小U可以通过以下三种方式走到顶端：

  1. 走一步，走一步，走一步（1, 1, 1）
  2. 走一步，走两步（1, 2）
  3. 走两步，走一步（2, 1）

我们需要计算对于任意给定 n，总共有多少种不同的走法。

思路

为了解决这个问题，可以使用 动态规划（Dynamic Programming, DP）。在这个问题中，我们的目标是找出到达楼梯顶部的所有可能的路径数，而动态规划可以帮助我们从底部到顶部逐步推导出解。

关键分析：

1. 状态定义： 设 dp[i] 表示从底部到达第 i 层的不同走法数。

2. 状态转移：

   • 小U每次只能选择走一步或两步：

     • 如果小U在第 i 层时选择走一步，那么他之前必须在第 i-1 层，而此时他不能连续走两步，因此我们可以得到：

       • dp[i][0] = dp[i-1][0] + dp[i-1][1]（到达第 i 层时，最后一步是走一步的情况）

     • 如果小U在第 i 层时选择走两步，那么他之前必须在第 i-2 层，并且此时不能是连续两步，所以我们可以得到：

       • dp[i][1] = dp[i-2][0]（到达第 i 层时，最后一步是走两步的情况）

3. 初始条件：

   • dp[0][0] = 1：表示从底部开始时，最后一步是走一步，走法数为1（即走到第0层）。
   • dp[0][1] = 0：表示不可能直接走两步到达第0层。

4. 返回结果： 最终我们需要返回的是 dp[n][0] + dp[n][1]，即到达第 n 层时，最后一步是走一步或者走两步的所有可能

def solution(n): # 初始化动态规划数组 dp = [[0, 0] for _ in range(n + 1)] # 初始条件 dp[0][0] = 1 # 到达第0层时，最后一步是走一步的走法数为1 dp[0][1] = 0 # 到达第0层时，最后一步是走两步的走法数为0 # 状态转移 for i in range(1, n + 1): # 如果最后一步是走一步 dp[i][0] = dp[i-1][0] + dp[i-1][1] # 如果最后一步是走两步 if i >= 2: dp[i][1] = dp[i-2][0] # 返回结果 return dp[n][0] + dp[n][1]

时间复杂度分析：

• 时间复杂度： 每次我们都需要计算一个新的 dp[i][0] 和 dp[i][1]，所以总时间复杂度为 O(n)，其中 n 是楼梯的层数。
• 空间复杂度： 我们使用了一个 dp 数组来存储每层楼梯的不同走法数，因此空间复杂度为 O(n)。

###动规的一般步骤

• 定义状态（子问题） ：

  • 确定子问题的状态，一般会定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示求解到第 i 的最优解。

• 状态转移方程：

  • 通过状态转移方程将一个子问题的解通过已知的子问题的解来得到。也就是说，我们通过推导出每个子问题的解与其他子问题的关系。

• 初始化：

  • 为了便于递推，需要给定一个或多个初始条件。一般来说，初始条件是 dp[0] 或者 dp[1]，代表最基础的情况。

• 求解最终问题：

  • 根据状态转移方程，逐步填充整个 dp 数组，直到最终问题的解被计算出来。