动态规划 三、括号序列 【问题描述】
给定一个括号序列，要求尽可能少地添加若干括号使得括号序列变得合法，当添加 完成后，会产生不同的添加结果，请问有多少种本质不同的添加结果。
两个结果是本质不同的是指存在某个位置一个结果是左括号，而另一个是右括号。
例如，对于括号序列 ((()，只需要添加两个括号就能让其合法，有以下几种不同的添加结果：()()() 、()(()) 、(())()、(()()) 和 ((()))。
【输入格式】
输入一行包含一个字符串s，表示给定的括号序列，序列中只有左括号和右括号。
【输出格式】
输出一个整数表示答案，答案可能很大，请输出答案除以1000000007(即109+7) 的余数。
【样例输入】
((()
【样例输出】
5
【评测用例规模与规定】
对于40%的评测用例，|s|⩽200。
对于所有评测用例，1⩽|s|⩽5000。
解析： 在开始解题之前，我们先分析两个问题。
问题1. 什么情况下必须要添加左括号，什么情况下必须添加右括号?
问题2. 我们添加的左括号会和我们添加的右括号匹配吗?
对于问题1，我们可从以下两方面作进一步思考：
（1）当一个右括号之前已经没有可以与其相匹配的左括号时，我们必须要添加左括号。例如() )，从左往右看，第二个右括号之前已经没有左括号可以与其匹配（第一个左括号和第一个右括号匹配），这时候我们就必须添加左括号。
（2）当一个左括号之后已经没有可以与其相匹配的右括号时，我们必须要添加右括号。例 如(( )，从右往左看，第二个左括号之后已经没有右括号可以与其匹配（第一个右括号和第 一个左括号匹配），这时候我们就必须添加右括号。
对于问题2，答案是“不会”。
我们可以使用反证法来证明：
（1）假设操作完成后的括号序列为 XXX ( XXX ) XXX ，(、) 为我们添加的互相匹配 的左括号和右括号，X 表示原序列的括号，或是我们添加的与原序列括号相匹配的 括号。
（2）那么该序列 XXX(XXX)XXX 若是一个合法序列，则将 (、) 去掉后的序列 XXX XXX XXX也会是个合法序列（对于一个合法的括号序列，去掉任意一对匹配的左右括号，它也依旧合法）。
（3）所以如果我们添加的左右括号相互匹配，它们将起不到什么作用，只会徒然增长序 列的长度。而题目要求我们的序列长度尽可能短，所以我们添加的左括号不会和我 们添加的右括号匹配（ 即我们添加的左括号只会受原序列中的括号影响，添加的右括号只会受原序列中的括号影响）。
