兔群繁殖之谜问题解析 | 豆包MarsCode AI刷题

题目解析

问题背景

小R正在研究兔子的繁殖模式。题目描述了一个特殊的兔子繁殖规律：

• 初始时有一对新生的小兔子。
• 每对成年兔子每个月会生育一对新的小兔子。
• 新生的小兔子需要一个月的时间才能成长为成年兔子，能够开始繁殖。
• 兔子永远不会死亡。

给定一个整数 A，表示月份数，要求我们计算在第 A 个月末，兔子的总对数。

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解题思路

从题目描述来看，兔子的繁殖规律可以用递推关系表示，即每个月的兔子总数取决于前两个月的兔子数量。这是一个经典的 斐波那契数列 问题。

具体规则如下：

• 第 1 个月：只有 1 对兔子。

• 第 2 个月：原来的 1 对兔子变成成年兔子，开始繁殖，再加上新生的 1 对兔子，因此总共是 2 对兔子。

• 从第 3个月开始，每个月的兔子总数是：

  F(n) = F(n-1) + F(n-2)
  

  这表示当前月的兔子对数是前两个月兔子对数的和，原因是：

  • 当前月的兔子对数由上个月的兔子（成年兔子）和上上个月的兔子（已经长大并繁殖的新兔子）共同决定。

为了得到第 A 个月末的兔子总对数，可以利用动态规划的思想，逐月计算兔子对数。

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解决步骤

1. 初始化：

   • 第 1 个月末兔子总对数为 1 对。
   • 第 2 个月末兔子总对数为 2 对。

2. 动态规划递推：

   • 从第 3 个月开始，利用递推关系 F(n) = F(n-1) + F(n-2) 计算兔子对数。

3. 存储结果：

   • 我们使用一个数组 rabbit_pairs 来存储每个月的兔子对数。数组的第 i 个元素表示第 i 个月末的兔子总对数。

4. 返回结果：

   • 返回数组中第 A 个月末的兔子对数。

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代码实现

python复制代码def solution(A: int) -> int:
    # 初始化前两个月的兔子对数
    if A == 1:
        return 1
    elif A == 2:
        return 2
    
    # 创建一个数组来存储每个月的兔子对数
    rabbit_pairs = [0] * (A + 1)
    rabbit_pairs[1] = 1  # 第1个月末有1对兔子
    rabbit_pairs[2] = 2  # 第2个月末有2对兔子
    
    # 从第3个月开始，递推计算每个月的兔子对数
    for i in range(3, A + 1):
        rabbit_pairs[i] = rabbit_pairs[i - 1] + rabbit_pairs[i - 2]
    
    # 返回第A个月末的兔子对数
    return rabbit_pairs[A]

代码解析

1. 初始化前两个月兔子对数：

   • 如果 A == 1，说明我们查询的是第 1 个月，兔子总数为 1 对。
   • 如果 A == 2，说明我们查询的是第 2 个月，兔子总数为 2 对。

2. 创建数组存储兔子对数：

   • 创建一个大小为 A + 1 的数组 rabbit_pairs 来存储每个月的兔子对数。
   • rabbit_pairs[i] 表示第 i 个月末的兔子对数。

3. 递推计算：

   • 使用一个 for 循环从第 3 个月开始，利用前两个月的兔子对数计算当前月的兔子对数。
   • 递推公式是：rabbit_pairs[i] = rabbit_pairs[i - 1] + rabbit_pairs[i - 2]。

4. 返回结果：

   • 计算完成后，返回 rabbit_pairs[A]，即第 A 个月末的兔子对数。

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时间复杂度和空间复杂度

• 时间复杂度：

  • 由于我们需要遍历从第 3 个月到第 A 个月，每次计算一个新的兔子对数，因此时间复杂度为 O(A)，其中 A 是给定的月份数。

• 空间复杂度：

  • 我们使用了一个大小为 A + 1 的数组来存储每个月的兔子对数，因此空间复杂度为 O(A)。

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边界情况

1. A = 1：

   • 第 1 个月末，兔子的对数是 1。

2. A = 2：

   • 第 2 个月末，兔子的对数是 2。

3. A ≥ 3：

   • 对于 A ≥ 3，我们使用递推公式逐月计算兔子对数。