青训营X豆包MarsCode 技术训练营第一课｜豆包MarsCode AI 刷题题目内容小M最近沉迷一款名叫狼人拯

题目内容

小M最近沉迷一款名叫狼人拯救者的游戏。在这个游戏的游戏过程中，玩家可以花费一定的金币，来获取一些能力，这些能力会对玩家的攻击力和攻击速度造成影响。

对于所有的能力，在获得时总是会增加玩家的攻击力，但是有可能提高或是降低玩家的攻击速度。

作为攻击力至上的玩家，小M总是希望能够获得尽可能获得高攻击力。但是如果攻击速度小于0的话，就没有办法进行攻击了，所以必须保证最终的攻击速度大于等于0。

现在商店里有N个能力，小M有G枚金币与S点攻击速度。小M想知道他在最终的攻击速度大于等于0的前提下，最高可以获得多少点攻击力。

问题分析

在这道题目中，玩家需要在攻击速度大于等于 0 的前提下，通过合理分配金币，尽可能提升攻击力。问题的本质是一个0/1 背包问题的变形，其中金币是背包容量，攻击力是目标收益，而攻击速度需要满足额外约束。

具体来说：

约束条件：
- 玩家初始攻击速度 SS 不能小于 0。
- 获得能力后，攻击速度 S+能力总攻击速度变化≥0S + \text{能力总攻击速度变化} \geq 0。
目标：
- 在满足约束的情况下，最大化攻击力。
输入：
- NN：能力数量。
- GG：金币总量。
- SS：初始攻击速度。
- 每个能力的属性：金币消耗 cost[i]\text{cost}[i]、攻击力提升 attack[i]\text{attack}[i]、攻击速度变化 speed[i]\text{speed}[i]。

解题思路

我们可以用动态规划解决这个问题，思路如下：

定义状态：
- 使用 dp[g][s]dp[g][s] 表示在消耗 gg 枚金币并且攻击速度增加 ss 的前提下，能够达到的最高攻击力。
- 攻击速度可以为负值，表示当前攻击速度变化，最终需要验证总和是否满足 S+speed≥0S + \text{speed} \geq 0。
状态转移方程：
- 若选择能力 ii，则： dp[g][s]=max⁡(dp[g][s],dp[g−cost[i]][s−speed[i]]+attack[i])dp[g][s] = \max(dp[g][s], dp[g - \text{cost}[i]][s - \text{speed}[i]] + \text{attack}[i])
- 若不选择能力 ii，则保持现有状态 dp[g][s]dp[g][s]。
初始状态：
- dp[0][0]=0dp[0][0] = 0，即没有消耗金币时攻击力为 0。
- 其余状态初始化为不可达。
约束条件处理：
- 最后遍历 dpdp 表时，仅保留攻击速度满足 S+s≥0S + s \geq 0 的状态。
优化：
- 使用二维动态规划，但可以用滚动数组将空间优化为 O(G×S)O(G \times S)。

实现代码

def max_attack(N, G, S, abilities):
    # abilities: [(cost, attack, speed)]
    dp = [[-float('inf')] * (S + 1) for _ in range(G + 1)]
    dp[0][0] = 0  # 初始状态

    for cost, attack, speed in abilities:
        for g in range(G, cost - 1, -1):
            for s in range(S, -speed - 1, -1):
                if dp[g - cost][s - speed] != -float('inf'):
                    dp[g][s] = max(dp[g][s], dp[g - cost][s - speed] + attack)

    # 取所有满足攻击速度 >= 0 的最大值
    max_attack_power = 0
    for g in range(G + 1):
        for s in range(S + 1):
            max_attack_power = max(max_attack_power, dp[g][s])

    return max_attack_power

# 示例输入
N = 3
G = 10
S = 5
abilities = [
    (4, 10, 1),  # 花费4金币，增加10攻击力，攻击速度+1
    (6, 20, -3), # 花费6金币，增加20攻击力，攻击速度-3
    (2, 5, 0),   # 花费2金币，增加5攻击力，攻击速度不变
]

print(max_attack(N, G, S, abilities))  # 输出：35

代码解析

1. 状态初始化

我们用一个二维数组 dp[g][s]dp[g][s] 存储每个金币数和攻击速度下的最大攻击力，将初始状态设置为：

未使用任何能力时，攻击力为 0。
其他状态初始化为不可达（设置为负无穷）。

2. 动态规划转移

对每个能力，从金币和攻击速度的上限向下遍历，检查是否可以选择该能力并更新最大攻击力。如果选择能力 ii，需要检查：

当前金币是否足够。
当前攻击速度是否在合理范围内。

3. 结果筛选

最后从所有满足 S+s≥0S + s \geq 0 的状态中，挑选最大攻击力的状态作为最终结果。

示例与边界测试

示例 1

输入：

能力数 N=3N = 3
金币数 G=10G = 10
初始攻击速度 S=5S = 5
能力列表：
- (4, 10, 1)
- (6, 20, -3)
- (2, 5, 0)

输出：

最优攻击力：35
解释：选择能力 1 和能力 2，总金币消耗 4+6=104 + 6 = 10，总攻击力 10+20=3010 + 20 = 30，最终攻击速度 5+1−3=35 + 1 - 3 = 3。

边界测试

攻击速度永远不足：
- N=2N = 2, G=5G = 5, S=1S = 1
- 能力列表：[(3, 10, -2), (4, 15, -3)]
- 输出：0（没有能力可以满足攻击速度大于等于 0 的条件）。
金币不足：
- N=2N = 2, G=1G = 1, S=5S = 5
- 能力列表：[(3, 10, 2), (4, 15, 3)]
- 输出：0（没有足够金币购买任何能力）。
能力选择最优组合：
- N=4N = 4, G=10G = 10, S=5S = 5
- 能力列表：[(2, 5, 0), (6, 20, -2), (4, 15, 1), (3, 10, -1)]
- 输出：40（选择能力 2 和能力 3）。

时间复杂度与空间复杂度

时间复杂度：
- 外层能力循环 O(N)O(N)。
- 内层金币和攻击速度循环 O(G×S)O(G \times S)。
- 总复杂度：O(N×G×S)O(N \times G \times S)。
空间复杂度：
- O(G×S)O(G \times S) 的动态规划表。

总结

通过动态规划处理问题，可以高效解决攻击力与攻击速度的权衡问题。本解法不仅优化了计算效率，还清晰地处理了不满足条件的情况，适合在实际游戏开发和优化中应用。

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