小F的永久代币卡回本计划 | 豆包MarsCode AI 刷题问题背景小F最近迷上了一款游戏，游戏中有一个特别的永久

问题背景

小F最近迷上了一款游戏，游戏中有一个特别的永久代币卡，购买这张卡片需要支付 ( a ) 勾玉。然而，这张卡片有一个特殊的福利：每天登录游戏可以返还 ( b ) 勾玉。小F想知道自己至少需要登录多少天，才能通过这些返还的勾玉完全抵消购买卡片的成本，从而实现“回本”。

问题分析

为了确定小F需要登录多少天才能回本，我们需要解决以下问题：

明确目标：我们需要计算小F需要登录多少天，使得通过每天登录获得的勾玉总数达到或超过购买卡片的成本 $a$ 。
建立数学模型：设小F需要登录 $d$ 天才能回本，则有：

d \times b \geq a

求解天数：为了找到最小的 $d$ ，我们可以将上述不等式转化为等式：

d = \left\lceil \frac{a}{b} \right\rceil

其中 $\left\lceil x \right\rceil$ 表示向上取整，即最小的整数 $n$ ，使得 $n \geq x$ 。

详细步骤

输入数据：给定 $a$ 和 $b$ 。
计算天数：使用向上取整函数 math.ceil 计算 $\left\lceil \frac{a}{b} \right\rceil$ 。
返回结果：返回计算结果。

Python 实现

import math
def solution(a: int, b: int) -> int:
    return math.ceil(a / b)

if __name__ == '__main__':
    print(solution(10, 1) == 10)
    print(solution(10, 2) == 5)
    print(solution(10, 3) == 4)

代码解释

导入 math 模块：我们需要使用 math.ceil 函数来进行向上取整。
定义函数：days_to_break_even 接受两个参数 ( a ) 和 ( b )。
计算天数：使用 math.ceil(a / b) 计算需要登录的天数。这里 a / b 是一个浮点数，表示小F需要登录的天数的小数部分。math.ceil 函数会将这个浮点数向上取整，确保我们得到的是最小的整数天数。
返回结果：返回计算得到的天数。

测试样例解释

样例1： $a = 10$ , $b = 1$
- 需要登录的天数 $d = \left\lceil \frac{10}{1} \right\rceil = 10$
- 解释：每天获得 1 勾玉，需要 10 天才能获得 10 勾玉，完全抵消购买卡片的成本。
样例2： $a = 10$ , $b = 2$
- 需要登录的天数 $d = \left\lceil \frac{10}{2} \right\rceil = 5$
- 解释：每天获得 2 勾玉，需要 5 天才能获得 10 勾玉，完全抵消购买卡片的成本。
样例3： $a = 10$ , $b = 3$
- 需要登录的天数 $d = \left\lceil \frac{10}{3} \right\rceil = 4$
- 解释：每天获得 3 勾玉，需要 4 天才能获得 12 勾玉，超过 10 勾玉，完全抵消购买卡片的成本。

衍生问题1：多张卡片的回本天数

假设小F购买了多张不同的永久代币卡，每张卡片的成本和每天的返还不一样。我们需要计算小F需要登录多少天，才能让所有卡片都回本。

输入

$n$ ：卡片的数量
$a_1, a_2, \ldots, a_n$ ：每张卡片的成本
$b_1, b_2, \ldots, b_n$ ：每张卡片每天的返还勾玉数

输出

$d$ ：需要登录的天数，使得所有卡片都回本

算法

对于每张卡片，计算其单独回本所需的天数 $d_i = \left\lceil \frac{a_i}{b_i} \right\rceil$ 。
找出所有 $d_i$ 中的最大值，即为需要登录的天数。

Python 实现

import math

def days_to_break_even_multiple_cards(n, a, b):
    """
    计算小F需要登录多少天才能让购买的多张永久代币卡全部回本。

    参数:
    n (int): 卡片的数量
    a (list of int): 每张卡片的成本（勾玉数）
    b (list of int): 每张卡片每天登录游戏获得的勾玉数

    返回:
    int: 需要登录的天数
    """
    # 计算每张卡片单独回本所需的天数
    days = [math.ceil(a_i / b_i) for a_i, b_i in zip(a, b)]
    # 找出最大的天数
    max_days = max(days)
    return max_days

# 测试样例
n = 3
a = [10, 20, 15]
b = [1, 2, 3]
print(days_to_break_even_multiple_cards(n, a, b))  # 输出：20

衍生问题2：动态调整的返还勾玉数

假设每天登录游戏获得的勾玉数不是固定的，而是随天数变化的。我们需要计算小F需要登录多少天，才能让购买的永久代币卡回本。

输入

$a$ ：卡片的成本
$b$ ：一个列表，表示每天登录游戏获得的勾玉数

输出

$d$ ：需要登录的天数，使得卡片回本

算法

初始化总勾玉数为 0。
逐天累加勾玉数，直到总勾玉数达到或超过卡片成本 $a$ 。
返回累计天数。

Python 实现

def days_to_break_even_with_varying_b(a, b):
    """
    计算小F需要登录多少天才能让购买的永久代币卡回本，每天的返还勾玉数不同。

    参数:
    a (int): 购买卡片的成本（勾玉数）
    b (list of int): 每天登录游戏获得的勾玉数

    返回:
    int: 需要登录的天数
    """
    total_yuanshi = 0
    days = 0
    
    while total_yuanshi < a:
        if days >= len(b):
            raise ValueError("无法回本，勾玉数不足")
        total_yuanshi += b[days]
        days += 1
    
    return days

# 测试样例
a = 10
b = [1, 2, 3, 4, 5]
print(days_to_break_even_with_varying_b(a, b))  # 输出：4

衍生问题3：多用户回本天数

假设有多位用户购买了相同的永久代币卡，每人的登录频率不同。我们需要计算所有用户中最慢的一位用户需要登录多少天才能回本。

输入

$a$ ：卡片的成本
$b$ ：每天登录游戏获得的勾玉数
$m$ ：用户的数量
$f_1, f_2, \ldots, f_m$ ：每位用户的登录频率（每天登录几次）

输出

$d$ ：需要登录的天数，使得所有用户中最慢的一位用户回本

算法

对于每位用户，计算其单独回本所需的天数 $d_i = \left\lceil \frac{a}{b \times f_i} \right\rceil$ 。
找出所有 $d_i$ 中的最大值，即为需要登录的天数。

Python 实现

import math

def days_to_break_even_multiple_users(a, b, m, f):
    """
    计算所有用户中最慢的一位用户需要登录多少天才能让购买的永久代币卡回本。

    参数:
    a (int): 购买卡片的成本（勾玉数）
    b (int): 每天登录游戏获得的勾玉数
    m (int): 用户的数量
    f (list of int): 每位用户的登录频率（每天登录几次）

    返回:
    int: 需要登录的天数
    """
    # 计算每位用户单独回本所需的天数
    days = [math.ceil(a / (b * f_i)) for f_i in f]
    # 找出最大的天数
    max_days = max(days)
    return max_days

# 测试样例
a = 10
b = 1
m = 3
f = [1, 2, 3]
print(days_to_break_even_multiple_users(a, b, m, f))  # 输出：10

总结

通过上述分析和实现，我们可以清楚地看到如何计算小F需要登录多少天才能让购买的永久代币卡回本。这个问题的关键在于理解向上取整的概念，并正确使用数学工具进行计算。