青训营X豆包MarsCode 技术训练AI刷题数字分组求偶数和｜豆包MarsCode AI 刷题问题描述小M面对

问题描述

小M面对一组从 1 到 9 的数字，这些数字被分成多个小组，并从每个小组中选择一个数字组成一个新的数。目标是使得这个新数的各位数字之和为偶数。任务是计算出有多少种不同的分组和选择方法可以达到这一目标。

numbers: 一个由多个整数字符串组成的列表，每个字符串可以视为一个数字组。小M需要从每个数字组中选择一个数字。

例如对于[123, 456, 789]，14个符合条件的数为：147 149 158 167 169 248 257 259 268 347 349 358 367 369。

测试样例

样例1：

输入：numbers = [123, 456, 789]
输出：14

样例2：

输入：numbers = [123456789]
输出：4

样例3：

输入：numbers = [14329, 7568]
输出：10

问题分析

数据结构选择

我们可以将每个数字组视为一个字符串列表，每个字符串包含多个数字。
我们需要遍历每个数字组，并从每个组中选择一个数字。

算法步骤

递归回溯：我们可以使用递归回溯的方法来遍历所有可能的选择组合。
- 从第一个数字组开始，尝试选择每个数字。
- 递归到下一个数字组，继续选择数字。
- 当遍历完所有数字组时，检查当前选择的数字之和是否为偶数。
- 如果是偶数，则计数加一。
剪枝优化：在递归过程中，如果当前和已经是奇数，那么继续选择数字是没有意义的，因为无论如何选择，最终的和都不可能是偶数。因此，可以在递归过程中进行剪枝优化。

代码

def solution(numbers):
    # Please write your code here
    
    def backtrack(index, current_sum):
        if index == len(numbers):
            if current_sum % 2 == 0:
                return 1
            else:
                return 0
        
        count = 0
        for num in str(numbers[index]):
            count += backtrack(index+1, current_sum + int(num))
        
        return count

    return backtrack(0, 0)

if __name__ == "__main__":
    #  You can add more test cases here
    print(solution([123, 456, 789]) == 14)
    print(solution([123456789]) == 4)
    print(solution([14329, 7568]) == 10)

代码分析

递归终止条件：
- 当 index 等于 len(numbers) 时，表示已经遍历完所有数字组。
- 检查 current_sum 是否为偶数，如果是偶数，返回 1，否则返回 0。
递归过程：
- 对于当前数字组 numbers[index]，遍历其中的每个数字。
- 将每个数字转换为整数，并递归调用 backtrack 函数，更新 index 和 current_sum。
- 累加递归调用的返回值，得到当前数字组的所有可能组合中符合条件的数量。

复杂度分析

时间复杂度分析

递归调用次数：
- 对于每个数字组 numbers[index]，我们遍历其中的每个数字。假设每个数字组的长度为 k，那么每个数字组有 k 种选择。
- 总共有 n 个数字组，因此总的递归调用次数为 k^n。
递归深度：
- 递归深度为 n，即数字组的数量。
每次递归的操作：
- 每次递归调用中，我们进行常数时间的操作，包括检查 current_sum 是否为偶数，以及累加 count。

时间复杂度总结

由于每个数字组有 k 种选择，总共有 n 个数字组，因此总的递归调用次数为 k^n。
每次递归调用中，我们进行常数时间的操作。

代码优化

动态规划：
- 使用动态规划来存储中间结果，避免重复计算。
- 可以创建一个二维数组 dp[i][sum]，表示从第 i 个数字组开始，当前和为 sum 时，符合条件的组合数量。
剪枝优化：
- 在递归过程中，如果当前和已经是奇数，那么继续选择数字是没有意义的，因为无论如何选择，最终的和都不可能是偶数。因此，可以在递归过程中进行剪枝优化。
记忆化搜索：
- 使用记忆化搜索来存储已经计算过的状态，避免重复计算。
- 可以创建一个字典 memo，存储已经计算过的 (index, current_sum) 状态的结果。

优化方向

动态规划实现：
- 创建一个二维数组 dp，其中 dp[i][sum] 表示从第 i 个数字组开始，当前和为 sum 时，符合条件的组合数量。
- 从最后一个数字组开始向前递推，计算每个状态的值。
记忆化搜索实现：
- 在递归函数中，使用一个字典 memo 来存储已经计算过的 (index, current_sum) 状态的结果。
- 在每次递归调用前，先检查 memo 中是否已经有结果，如果有则直接返回，避免重复计算。

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