题目解析： 这是一道组合计数问题，涉及到数位和的性质以及组合计数。主要需要解决：
- 从每个组中选择一个数字
- 组合所选数字形成新数
- 判断数位和是否为偶数
- 统计所有可能的组合数量
关键特征分析：
- 输入是字符串数组，每个字符串代表一个数字组
- 每个组中的数字都是1-9之间的
- 需要从每个组中选择恰好一个数字
- 最终数字的各位数字之和必须是偶数
- 需要统计所有可能的组合数量
解题思路分析：
-
基本思路：
- 将每个字符串转换为可选数字集合
- 使用回溯或动态规划统计符合条件的组合数量
- 判断数位和的奇偶性
-
详细算法设计：
方案1：回溯法（适用于组数较少的情况）
python
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def count_combinations(numbers):
# 将字符串转换为数字列表
digit_groups = []
for num in numbers:
group = set(int(d) for d in num)
digit_groups.append(sorted(list(group)))
def backtrack(index, current_sum):
# 如果已经处理完所有组
if index == len(digit_groups):
return 1 if current_sum % 2 == 0 else 0
count = 0
# 尝试当前组的每个数字
for digit in digit_groups[index]:
count += backtrack(index + 1, current_sum + digit)
return count
return backtrack(0, 0)
方案2：动态规划法（适用于组数较多的情况）
python
CopyInsert
def count_combinations_dp(numbers):
# 将字符串转换为数字列表
digit_groups = []
for num in numbers:
group = set(int(d) for d in num)
digit_groups.append(sorted(list(group)))
# dp[i][j] 表示使用前i个组，当前和为j的组合数量
n = len(digit_groups)
dp = [[0] * 20 for _ in range(n + 1)]
dp[0][0] = 1
# 遍历每个组
for i in range(n):
# 遍历前一状态的所有可能和
for prev_sum in range(20):
if dp[i][prev_sum] == 0:
continue
# 尝试当前组的每个数字
for digit in digit_groups[i]:
new_sum = prev_sum + digit
dp[i + 1][new_sum] += dp[i][prev_sum]
# 统计和为偶数的组合数量
result = 0
for j in range(0, 20, 2):
result += dp[n][j]
return result
-
优化方案：
- 使用位运算优化奇偶判断
- 使用哈希表存储中间状态
- 压缩状态空间
算法复杂度分析：
-
回溯法：
- 时间复杂度：O(9^n)，其中n是组数
- 空间复杂度：O(n)，递归栈深度
-
动态规划法：
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时间复杂度：O(n * m * k)，其中：
- n是组数
- m是可能的和的范围（这里是20）
- k是每组中数字的平均数量
-
空间复杂度：O(n * m)
-
需要注意的边界情况：
- 只有一个组的情况
- 组中有重复数字的情况
- 数位和可能超过预设范围的情况
- 空输入的情况
实现细节注意事项：
- 字符串转数字的处理
- 去重处理
- 数位和的计算
- 状态转移的正确性
优化建议：
-
空间优化：
- 使用滚动数组优化dp数组
- 使用位运算代替数组存储状态
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时间优化：
- 预处理每组的可选数字
- 剪枝无效的状态转移
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代码优化：
- 模块化函数设计
- 添加适当的注释
- 使用常量定义关键参数
测试用例设计：
-
基本测试：
- 单组数字
- 两组数字
- 多组数字
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边界测试：
- 最小组合情况
- 最大组合情况
- 重复数字情况
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特殊测试：
- 空输入
- 单个数字的组
- 所有数字都相同的组
实际应用场景：
- 密码生成系统
- 数字游戏设计
- 组合优化问题
- 概率统计问题
总结： 这道题目综合考察了：
- 组合计数的基本概念
- 动态规划的应用
- 回溯算法的实现
- 空间和时间的优化能力
解题要点：
- 正确理解问题要求
- 选择合适的算法策略
- 处理好边界情况
- 注意性能优化
- 代码的可维护性
这是一道很好的算法题，既可以用来练习基本的编程技能，也可以深入探讨算法优化和工程实践。
