题解-数值操作的期望计算问题题解：数值操作的期望计算问题题目描述了一个概率相关的数学期望问题，核心是在两次随机操作后，

题解：数值操作的期望计算问题

一、题目背景与分析

题目描述了一个概率相关的数学期望问题，核心是在两次随机操作后，计算两个数之和的期望值。小雨每次从两个整数 ( a ) 和 ( b ) 中随机选择一个数乘以 2，经过两次操作后，我们需要计算结果之和的期望值。

数学期望是概率论的核心概念之一，用于描述随机变量可能取值的加权平均值。该题目考察了数学期望的建模、计算过程，以及对结果的综合理解。

二、题目解析与计算公式

1. 操作描述

对于两个数 ( a ) 和 ( b )：

每次随机选择一个数乘以 2（两个数被选中的概率均为 ( \frac{1}{2} )）。
连续操作两次，共产生 ( 2 \times 2 = 4 ) 种可能结果。

2. 计算过程

在数学期望中，随机变量的可能取值需要根据概率进行加权平均。本题的操作逻辑可以分为两步逐层计算：

第一步：选择一个数乘以 2
随机选择 ( a ) 或 ( b )：
- 选择 ( a )，结果为 ( 2a + b )；
- 选择 ( b )，结果为 ( a + 2b )。
  对这两种情况加权平均，得到第一步的期望结果：

E_1 = \frac{1}{2}(2a + b) + \frac{1}{2}(a + 2b)

第二步：再次随机选择一个数乘以 2
基于第一步结果，随机选择 ( a ) 或 ( b )，构造出 4 种可能结果：
- 第一次选 ( a )，第二次选 ( a )： ( 4a + b )；
- 第一次选 ( a )，第二次选 ( b )： ( 2a + 2b )；
- 第一次选 ( b )，第二次选 ( b )： ( a + 4b )；
- 第一次选 ( b )，第二次选 ( a )： ( 2a + 2b )。
  对这四种情况加权平均，得到第二步的期望结果：

E_2 = \frac{1}{4}(4a + b) + \frac{1}{4}(2a + 2b) + \frac{1}{4}(a + 4b) + \frac{1}{4}(2a + 2b)

简化后：

E_2 = \frac{7a + 7b}{2}

因此，经过两次随机操作后，两个数之和的数学期望值为：

E = E_2 = \frac{7a + 7b}{2}

三、代码实现

根据上述计算过程，代码实现如下：

def solution(a: int, b: int) -> str:
    # 计算第一步的结果
    E1_a = 2 * a + b  # 第一次选择 a
    E1_b = a + 2 * b  # 第一次选择 b

    # 计算第二步的结果
    E2_a = 4 * a + b  # 第二次再选 a
    E2_b = 2 * a + 2 * b  # 第二次交替选
    E2_c = a + 4 * b  # 第二次再选 b

    # 期望计算
    result = (1/4) * (E2_a + E2_b + E2_c + E2_b)
    return f"{result:.2f}"

# 测试用例
print(solution(3, 3))  # 输出: "13.50"
print(solution(5, 7))  # 输出: "27.00"
print(solution(1, 1))  # 输出: "4.50"