问题描述
小M定义了一种特殊的二叉树，称之为“好二叉树”。当且仅当这个二叉树中的所有节点的孩子数量为偶数（即每个节点要么没有孩子，要么有两个孩子），该二叉树才被称为好二叉树。
现在，小M想知道，给定 n 个节点，可以构成多少种不同形态的好二叉树？答案需要对 10^9 + 7 取模。
测试样例
样例1：
输入：
n = 5输出：2
样例2：
输入：
n = 7输出：5
样例3：
输入：
n = 9输出：14
问题分析与思考
这个问题是一个经典的 组合数学问题，涉及到如何在给定的 n 个节点中构造符合特定条件的二叉树。问题中的二叉树要求每个节点的孩子数量是偶数，要么没有孩子（叶子节点），要么有两个孩子。
问题分析
我们可以通过 动态规划 来解决这个问题。我们的问题可以转化为以下几个部分：
-
二叉树的节点构成：
- 每个节点要么没有孩子，要么有两个孩子。
- 因此，我们可以将一个节点视作一个根节点，它可以有两个子树。假设一个子树有
i个节点，另一个子树有n-1-i个节点。由于每个子树必须也是一个 "好二叉树"，所以我们递归地求解这个问题。
-
递推关系：
-
对于一个给定的节点数
n，我们可以将根节点拆分成左右两个子树，假设左子树包含i个节点，右子树包含n-1-i个节点，其中i是偶数。这样可以确保每个节点的孩子数量是偶数。 -
递推公式为：
其中，
dp[i]表示一个包含i个节点的好二叉树的数量。
-
-
边界条件：
dp[0] = 1：空树是一个有效的好二叉树。dp[1] = 1：只有一个节点的树也是一个好二叉树。- 节点数如果为偶数直接不满足条件返回0
这里就有一个问题，取模不是应该最后取吗？为什么这里在中间就取了，不会导致结果错误吗？
在动态规划过程中中间取模是否会影响最终结果？
理论分析
中间取模是否会影响结果，关键取决于我们如何理解 模运算的性质，特别是在涉及加法和乘法时。我们来详细分析这个问题。
模运算的性质
模运算有几个重要的性质：
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加法的模运算：
-
如果有两个数 a 和 b，那么：
- 你可以先对每个数取模，然后再进行加法，最后再取模，结果不变。
-
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乘法的模运算：
-
对于两个数a和b,有：
- 你可以先对
a和b取模，再进行乘法，然后最后对结果取模，结果不变。
- 你可以先对
-
中间取模是否影响结果？
根据上述模运算性质，我们可以得出结论：
中间取模不会影响最终的计算结果。这是因为：
- 在每次更新
dp[nodes]时，我们在加法和乘法运算过程中对中间结果进行取模，这样做并不会改变最终的结果，只是确保计算过程中中间结果始终保持在一个合理的范围内。 - 最终得到的结果与中间是否取模是一样的，只不过中间取模可以防止结果过大，从而避免数值溢出，并且符合题目要求（通常题目要求对
MOD取模，防止结果过大）。
所以通过这个题，在AI工具的帮助下又掌握了取模的技巧。
