刷题实践：小A的移动点 | 豆包MarsCode AI刷题小A的移动点：解法可以扩展到其他图连通性相关的问题，特别是那些

问题描述

小M有 n 个点，每个点的坐标为 (xi,yi)。她可以从一个点出发，平行于坐标轴移动，直到到达另一个点。具体来说，她可以从 (x1,y1) 直接到达 (x2,y1) 或者 (x1,y2)，但无法直接到达 (x2,y2)。为了使得任意两个点之间可以互相到达，小M可以选择增加若干个新的点。

任务目标：计算最少需要增加多少个点，才能保证任意两个点之间可以通过平行于坐标轴的路径互相到达。

问题剖析

两点之间可以直接到达的条件是，它们要么有相同的 x 坐标，要么有相同的 y 坐标。
要保证所有点都可以通过平行于坐标轴的路径互相到达，意味着我们要将所有点连接成一个连通图。
如果已有点之间存在连通性（即它们共享相同的 x 或 y 坐标），那么这些点形成了一个连通分量。
问题的关键是计算现有的连通分量数量，并确定最少需要多少个新点才能将这些分量连接成一个整体。

解题思路

图模型：将每个点视作一个节点。如果两个点共享相同的 x 或 y 坐标，它们之间就有一条边。问题变成了计算这些点的连通分量数量。
并查集（Union-Find） ：我们可以使用并查集（Union-Find）来帮助我们合并不同的连通分量。并查集可以高效地管理点之间的连接关系。
如何合并点：通过 x 坐标和 y 坐标分别将相同 x 或相同 y 的点合并。这样，所有同一坐标轴上的点就可以通过并查集实现连通。
最小新增点数：计算最终的连通分量数。如果已有的点分成了 k 个连通分量，那么为了使所有点相互连通，我们需要增加 k−1个新点。

解题代码

class UnionFind:
    def __init__(self, n):
        self.parent = list(range(n))
        self.rank = [1] * n

    def find(self, x):
        if self.parent[x] != x:
            self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
        return self.parent[x]

    def union(self, x, y):
        rootX = self.find(x)
        rootY = self.find(y)
        if rootX != rootY:
            # Union by rank
            if self.rank[rootX] > self.rank[rootY]:
                self.parent[rootY] = rootX
            elif self.rank[rootX] < self.rank[rootY]:
                self.parent[rootX] = rootY
            else:
                self.parent[rootY] = rootX
                self.rank[rootX] += 1

def solution(n: int, points: list) -> int:
    uf = UnionFind(n)

    # 用字典分别记录相同 x 和相同 y 坐标的点
    x_map = {}
    y_map = {}

    for i in range(n):
        x, y = points[i]
        if x not in x_map:
            x_map[x] = []
        if y not in y_map:
            y_map[y] = []
        x_map[x].append(i)
        y_map[y].append(i)

    # 根据相同的 x 坐标合并
    for indices in x_map.values():
        for i in range(1, len(indices)):
            uf.union(indices[0], indices[i])

    # 根据相同的 y 坐标合并
    for indices in y_map.values():
        for i in range(1, len(indices)):
            uf.union(indices[0], indices[i])

    # 计算连通分量的数量
    root_set = set(uf.find(i) for i in range(n))

    # 最少需要增加的点数 = 连通分量数量 - 1
    return len(root_set) - 1

代码剖析

UnionFind 类：
这是并查集（Union-Find）的实现，支持两个主要操作：
- find(x)：查找元素 x 所在的集合（路径压缩优化）。
- union(x, y)：将元素 x 和 y 合并到同一个集合（按秩合并优化）。
x_map 和 y_map 字典：
使用这两个字典分别记录共享相同 xxx 坐标和相同 yyy 坐标的点的索引。这样我们可以方便地进行合并操作。
合并操作：
- 遍历 x_map 和 y_map，对于每一组相同坐标的点，使用 union 方法将它们合并为一个连通分量。
计算连通分量：
遍历所有点，使用 find 方法找到每个点的根节点，将所有不同的根节点加入集合中，集合的大小即为连通分量的数量。
返回结果：
最后，返回 连通分量数量 - 1，这是为了将这些连通分量合并成一个整体所需要增加的最小点数。

复杂度分析

时间复杂度：
- 对于每个点，我们需要进行两次合并操作（一次基于 x，一次基于 y）。
- 并查集的 find 和 union 操作的时间复杂度是 O(α(n))，其中 α 是反阿克曼函数，几乎是常数。
- 因此，总的时间复杂度为 O(n)，适合处理大规模输入。
空间复杂度：
- 并查集需要 O(n) 的空间来存储父节点和秩信息。
- 使用两个字典存储坐标映射，空间复杂度也是 O(n)。
- 总体空间复杂度为 O(n)。

思考总结

并查集的应用：
本题的核心是通过并查集管理不同点之间的连通性。并查集能够高效地处理合并和查找操作，非常适合解决这种图的连通性问题。
问题转化的巧妙：
通过将相同 x 和 y 坐标的点视为同一个集合，我们将这个问题转化为计算图的连通分量问题，进而求得需要增加的点数。
优化技巧：
使用路径压缩和按秩合并来优化并查集的操作，保证了操作的高效性，即使在较大的输入规模下也能迅速完成计算。
实际应用：
本题的解法可以扩展到其他图连通性相关的问题，特别是那些涉及到坐标或者空间中相对位置关系的问题。

AI是如何帮助我刷题的

AI在我刷题过程中提供了以下帮助：

问题理解与剖析：
AI能够快速帮助我理解题目中的关键点，并在深入分析后，指出问题的核心所在。例如，在本题中，AI帮助我明确了“平行于坐标轴的路径可达”的本质，就是判断点之间是否存在共享的 x 或 y 坐标。
解题思路构建：
在面对复杂的问题时，AI可以帮助我从多个角度审视问题，并提供合适的解题策略。通过引导我使用并查集来解决连通性问题，AI帮助我理清了如何通过数据结构有效解决此类图的连通性问题。
代码实现与优化：
AI不仅帮助我编写出正确的代码，还通过代码优化（如并查集的路径压缩和按秩合并优化），使得解法更加高效。AI的建议让我能够用最简洁高效的方式实现题目要求，避免了冗余和低效的实现。
复杂度分析与验证：
AI在分析完代码之后帮助我进行时间和空间复杂度的分析，确保解法的高效性并且帮助我理解了其在大规模数据下的表现。
错误调试与改进：
AI提供了及时的错误排查和改进建议。对于边界情况和特殊输入，AI通过测试案例帮助我确保了代码的正确性和鲁棒性。

AI不仅仅是代码生成工具，更是一个有力的学习伙伴。它帮助我快速理解题目，提供高效的解法，并且在实际编程中提供了多方面的支持。通过与AI的互动，我能够更快速地掌握和优化算法，提高编程能力。