优化青海湖至景点X的租车路线成本
在现代生活中，随着油价的不断上涨，出行成本成为我们不得不考虑的重要因素。小F计划从青海湖出发前往一个遥远的景点X进行旅游，为了尽量减少行程中的燃油成本，他希望合理规划加油站的加油顺序和数量，从而最小化从青海湖到景点X的旅行成本。本文将通过Python代码实现这一目标，并提供详细的分析和思考。
问题描述
小F计划从青海湖出发，前往一个遥远的景点X进行旅游。由于油价的不断上涨，他希望尽量减少行程中的燃油成本。车辆的油箱容量为400L，在起始点租车时，车内剩余油量为200L。每行驶1km消耗1L油。沿途设有多个加油站，小F可以在这些加油站补充燃油；到达目标景点X还车的时候，需要保证车内剩余的油至少有200L。
输入输出说明
输入：
distance: 从青海湖到景点X的总距离（km），距离最远不超过10000 km。n: 沿途加油站的数量 (1 <= n <= 100)。gas_stations: 每个加油站的信息，包含两个非负整数 [加油站距离起始点的距离（km）, 该加油站的油价（元/L）]。
输出：
- 最小化从青海湖到景点X的旅行成本（元）。如果无法到达景点X，或者到达景点X还车时油料剩余不足200L，则需要返回 -1 告诉小F这是不可能的任务。
测试样例
样例1：
distance = 500
n = 4
gas_stations = [[100, 1], [200, 30], [400, 40], [300, 20]]
输出：4300
样例2：
distance = 1000
n = 3
gas_stations = [[300, 25], [600, 35], [900, 5]]
输出：-1
样例3：
distance = 200
n = 2
gas_stations = [[100, 50], [150, 45]]
输出：9000
样例4：
distance = 700
n = 5
gas_stations = [[100, 10], [200, 20], [300, 30], [400, 40], [600, 15]]
输出：9500
样例5：
distance = 50
n = 1
gas_stations = [[25, 100]]
输出：5000
代码实现与分析
动态规划思路
我们可以使用动态规划来解决这个问题。定义 dp[i][j] 表示在第 i 个加油站加油后，油箱内有 j L油时的最小花费。初始状态是 dp[0][200] = 0，即在起始点有200L油且花费为0。然后逐步计算每个加油站的最优加油策略。
代码实现
import sys
def solution(distance, n, gasStations):
maxCapacity = 400
inf = sys.maxsize
# 按照加油站位置升序排序
gasStations.sort(key=lambda x: x[0])
# 计算每个加油站之间的距离
dis = [gasStations[0][0]]
for i in range(1, len(gasStations)):
dis.append(gasStations[i][0] - gasStations[i-1][0])
# 初始化 dp 数组
dp = [[inf] * (maxCapacity + 1) for _ in range(n + 2)]
dp[0][200] = 0 # 初始状态，容量为200，花费为0
# 动态规划计算最小花费
for i in range(1, n + 1):
for j in range(maxCapacity + 1):
for k in range(maxCapacity + 1):
if j + dis[i-1] - k >= 0 and k >= dis[i-1]:
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][k] + (j + dis[i-1] - k) * gasStations[i-1][1])
# 判断是否可以到达终点
remaining_fuel = 200 + distance - gasStations[n-1][0]
if remaining_fuel > maxCapacity or remaining_fuel < 0:
return -1
result = inf
for i in range(remaining_fuel, maxCapacity + 1):
result = min(result, dp[n][i])
if result == inf:
return -1
return result
if __name__ == "__main__":
# 测试样例
gas_stations1 = [[100, 1], [200, 30], [400, 40], [300, 20]]
gas_stations2 = [[300, 25], [600, 35], [900, 5]]
gas_stations3 = [[100, 50], [150, 45]]
gas_stations4 = [[100, 10], [200, 20], [300, 30], [400, 40], [600, 15]]
gas_stations5 = [[25, 100]]
# 测试用例
print(solution(500, 4, gas_stations1) == 4300)
print(solution(1000, 3, gas_stations2) == -1)
print(solution(200, 2, gas_stations3) == 9000)
print(solution(700, 5, gas_stations4) == 9500)
print(solution(50, 1, gas_stations5) == 5000)
个人思考与分析
在这个问题中，我们使用了动态规划的方法来解决最小化旅行成本的问题。通过定义状态和状态转移方程，我们能够有效地计算出在不同加油站加油后的最小花费。这种方法的时间复杂度较高，但能够确保找到最优解。此外，我们还需要考虑一些特殊情况，例如无法到达终点或油量不足的情况，这时我们需要返回 -1。
通过上述代码和分析，我们可以看到动态规划在解决此类优化问题中的重要作用。它不仅能够提供精确的解决方案，还能够帮助我们理解问题的结构和求解过程。
