贪心的小包｜豆包MarsCode AI 刷题题号102 贪心的小包问题描述小包非常喜欢吃甜点，他收到了一次性送来

题号102 贪心的小包

问题描述

小包非常喜欢吃甜点，他收到了一次性送来的 NN 个甜点，每个甜点都有一个对应的喜爱值。

但是这还不够！小包让小哥连续送来了 MM 次相同的 NN 个甜点，并将这些甜点首尾相接排成一排。

现在，小包面前有 (N×M)(N×M) 个排成一排的甜点，小包希望从中选择一段连续的甜点，使得这段甜点的总喜爱值最大化。

注意：尽管小包喜欢甜食，但有些甜点可能不合口味，导致其喜爱值为负数。小包至少要选择一个甜点来满足他对甜点的贪心。

输入参数

整数 ( N )：表示每次送来的甜点数量。
整数 ( M )：表示送来的次数。
数组 data：长度为 ( N )，表示每个甜点的喜爱值。

返回结果

一个整数，表示在 N×MN×M 个甜点中可以选择的连续甜点段的最大总喜爱值。

测试样例

样例1：

输入：N = 5 ,M = 1 ,data = [1, 3, -9, 2, 4]
输出：6
解释：选择甜点 [2, 4]，最大总喜爱值为 6

样例2：

输入：N = 5 ,M = 3 ,data = [1, 3, -9, 2, 4]
输出：11
解释：排列后甜点为 [1, 3, -9, 2, 4, 1, 3, -9, 2, 4, 1, 3, -9, 2, 4]。
选择 [2, 4, 1, 3, -9, 2, 4, 1, 3] 这段连续甜点，最大总喜爱值为 11。

问题理解

甜点排列：题目中提到甜点被连续送来了 M 次，每次送来的甜点数量为 N。这意味着甜点的总数是 N * M。
连续子数组的最大和：我们需要找到一个连续的子数组，使得这个子数组的总喜爱值最大。

数据结构与算法选择

最大子数组和问题：这是一个经典的动态规划问题，通常可以使用 Kadane 算法来解决。Kadane 算法的时间复杂度是 O(n)，其中 n 是数组的长度。
重复数组的影响：由于甜点是重复的，我们需要考虑如何处理这些重复的甜点。我们可以将问题分解为以下几个步骤：
- 计算单个 data 数组的最大子数组和。
- 计算整个 N * M 数组的最大子数组和。

算法步骤

计算单个 data 数组的最大子数组和：使用 Kadane 算法计算 data 数组的最大子数组和。
计算整个 N * M 数组的最大子数组和：
- 如果 M == 1，直接返回单个 data 数组的最大子数组和。
- 如果 M > 1，我们需要考虑跨越多段 data 数组的情况。我们可以通过以下方式处理：
  - 计算 data 数组的总和。
  - 计算 data 数组的最大前缀和和最大后缀和。
  - 计算跨越多段 data 数组的最大子数组和。
综合考虑：将上述结果综合考虑，得到最终的最大子数组和。

总结

通过上述步骤，我们可以有效地解决这个问题。关键在于理解如何处理重复的 data 数组，并结合 Kadane 算法来计算最大子数组和。

代码实现

def solution(N, M, data):
    # Step 1: Calculate total sums
    total_sum = sum(data)
    
    # Step 2: Use Kadane's algorithm to find the maximum subarray sum
    def kadane(arr):
        max_ending_here = max_so_far = arr[0]
        for x in arr[1:]:
            max_ending_here = max(x, max_ending_here + x)
            max_so_far = max(max_so_far, max_ending_here)
        return max_so_far
    
    # Maximum sum for a single segment of sweets
    max_single = kadane(data)
    
    # If M = 1, return that value
    if M == 1:
        return max_single
    
    # Step 3: Try to combine segments across boundaries
    # Prefix sums
    prefix_sum = [0] * N
    prefix_sum[0] = data[0]
    for i in range(1, N):
        prefix_sum[i] = prefix_sum[i-1] + data[i]
    
    # Suffix sums
    suffix_sum = [0] * N
    suffix_sum[N-1] = data[N-1]
    for i in range(N-2, -1, -1):
        suffix_sum[i] = suffix_sum[i+1] + data[i]
    
    # Maximum prefix sum
    max_prefix = max(prefix_sum)
    # Maximum suffix sum
    max_suffix = max(suffix_sum)

    # Maximum result combining prefix, one full N segment, and suffix
    if total_sum > 0:
        # If total sum is positive, we can take full M-2 full arrays in between
        max_combination = max_prefix + max_suffix + (M - 2) * total_sum
    else:
        # If total sum is non-positive, just take the max of prefix and suffix combination
        max_combination = max_prefix + max_suffix

    # Step 4: Compare max_combination with max_single
    return max(max_single, max_combination)

# Sample test cases:
print(solution(5, 1, [1, 3, -9, 2, 4]))  # Output: 6
print(solution(5, 3, [1, 3, -9, 2, 4]))  # Output: 11

解释

Kadane’s Algorithm：找到了在一次 N 个甜点中可能获得的最大连续合计值。
前缀和与后缀和：计算出最大前缀和和后缀和，以便计算跨越中的最大和。
总和处理：检查 M 并根据总的喜爱值处理跨越边界的情况，最终返回全局最大的值。

复杂度

时间复杂度为 O(N) 因为我们仅需对数据数组进行常数次遍历。
空间复杂度为 O(N) 用于存储前缀和和后缀和的数组。

我们就成功通过了本题🤩

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