做题笔记：租用货船的最大载货量问题｜豆包MarsCode AI 刷题做题笔记：租用货船的最大载货量问题题目分析问题

问题背景：
- 有 QQ 种类型的货船，每种货船的数量、租赁成本、载货量是已知的。
- 目标是在有限预算 VV 元内，选择一种或多种货船组合，使总载货量最大。
输入参数：
- QQ：货船种类数量。
- VV：总预算。
- shipsships：一个包含 QQ 个元组的列表，每个元组表示某种货船的属性 [m[i],v[i],w[i]][m[i], v[i], w[i]]：
  - m[i]m[i]：第 ii 种货船的最大可租数量。
  - v[i]v[i]：第 ii 种货船每艘的租赁成本。
  - w[i]w[i]：第 ii 种货船每艘的最大载货量。
目标：
- 选择货船，使得总预算 ≤V\leq V，且总载货量尽可能大。
约束条件：
- 每种货船的租用数量不能超过其最大数量 m[i]m[i]。
- 总租赁费用不能超过预算。

这是一个多重背包问题的变种，解题时可参考动态规划方法解决背包问题：

多重背包问题简介：
- 每种物品有多件（如货船数量 m[i]m[i]）。
- 选择物品时需考虑其费用限制（如租赁成本 v[i]v[i]）。
- 每种物品的价值为 w[i]w[i]，目标是最大化价值。
动态规划核心思想：
- 定义 dp[j]dp[j]：表示在预算 jj 元时的最大总载货量。
- 每种货船可以租用 00 至 m[i]m[i] 艘。对于每种租用方案，更新动态规划数组。
状态转移方程：
- 遍历货船，设当前货船的属性为 [m,v,w][m, v, w]，对于预算从 VV 到 vv 进行逆序更新：
  - 尝试租用 kk 艘货船（1≤k≤m1 \leq k \leq m 且 j≥k⋅vj \geq k \cdot v）： dp[j]=max⁡(dp[j],dp[j−k⋅v]+k⋅w)dp[j] = \max(dp[j], dp[j - k \cdot v] + k \cdot w)
优化：
- 遍历时，需从大到小更新 dpdp，避免重复利用当前船只。
- 对于多重背包问题的优化，可以尝试二进制拆分或更高效的处理方法。

以下是代码的逐步解析：

初始化动态规划数组：
```
dp = [0] * (V + 1)
```
- 创建大小为 V+1V+1 的数组 dpdp，初始值为 00。
- dp[i]dp[i] 表示预算为 ii 时的最大载货量。
遍历每种货船的属性：
```
for m, v, w in ships:
```
- 遍历货船列表 shipsships，获取每种货船的数量 mm、租赁成本 vv 和最大载货量 ww。
多重背包核心处理：
```
for j in range(V, v - 1, -1):
    for k in range(1, m + 1):
        if j >= k * v:
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * v] + k * w)
```
- 从总预算 VV 开始，逐步尝试减少预算 jj。
- 尝试租用 kk 艘货船，若 k⋅v≤jk \cdot v \leq j，更新最大载货量 dp[j]dp[j]。
返回结果：
```
return dp[V]
```
- 最终 dp[V]dp[V] 为给定预算下的最大载货量。

多重背包的优化：
- 使用二进制拆分法将 m[i]m[i] 拆解为若干组物品，降低时间复杂度。
- 或者在更新 dpdp 时，直接以 m[i]m[i] 为上限优化内部循环。
减少循环次数：
- 若 m[i]⋅v[i]>Vm[i] \cdot v[i] > V，则直接视为无限背包问题，简化计算。

复杂度分析：
- 时间复杂度：O(Q⋅V⋅max(m[i]))O(Q \cdot V \cdot \text{max}(m[i]))。
- 空间复杂度：O(V)O(V)。
应用场景：
- 该问题是一类多重背包问题，可推广到资源分配、容量规划等实际问题中。
扩展思考：
- 若需求增加额外约束条件（如货船必须满足某种特殊配置），可通过增加状态变量解决。

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