问题描述
在古生物学的研究中，比较物种间 DNA 序列的差异可以用来分析血缘关系。小小是一位古生物学家，她通过对比 DNA 序列（由字符 A、C、G、T 组成）的差异来衡量物种间的亲疏远近关系。两条 DNA 序列间的差异可以通过以下三种操作来定义：
• 插入：在序列中增加一个字符；
• 删除：从序列中移除一个字符；
• 替换：将序列中的一个字符替换为另一个字符。
两条 DNA 序列间的最小变异次数（即需要的最小编辑操作数）越小，表示两者血缘关系越接近。我们的任务是实现一个算法，计算两条 DNA 序列之间的最小变异次数。
问题建模
这个问题可以用经典的 编辑距离（Edit Distance） 动态规划算法来解决。动态规划的核心是构造一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示将 dna1 的前 i 个字符转换为 dna2 的前 j 个字符所需的最小编辑操作数。
状态转移方程：
• 如果 dna1[i-1] == dna2[j-1]，则 dp[i][j] = dp[i-1][j-1]，因为当前字符相等，无需额外操作；
• 否则，取以下三种操作的最小值：
1. 插入：dp[i][j-1] + 1
2. 删除：dp[i-1][j] + 1
3. 替换：dp[i-1][j-1] + 1
边界条件：
• dp[0][j] = j：将空字符串转换为 dna2 的前 j 个字符需要插入 j 次；
• dp[i][0] = i：将 dna1 的前 i 个字符转换为空字符串需要删除 i 次。
算法实现
以下是该问题的 Python 代码实现：
测试结果分析
• 样例 1：
• 输入：dna1 = "AGT", dna2 = "AGCT"
• 输出：1
• 分析：只需要在 "AGT" 末尾插入一个字符 'C'。
• 样例 2：
• 输入：dna1 = "AACCGGTT", dna2 = "AACCTTGG"
• 输出：4
• 分析：需要替换 'G' -> 'T' 两次，并交换 'T' 和 'G' 的位置，总共4次操作。
• 样例 3：
• 输入：dna1 = "ACGT", dna2 = "TGC"
• 输出：3
• 分析：需要删除 'A'，替换 'C' -> 'G'，以及替换 'T' -> 'C'。
• 样例 4：
• 输入：dna1 = "", dna2 = "ACGT"
• 输出：4
• 分析：需要插入 'A', 'C', 'G', 'T'，共4次操作。
复杂度分析
• 时间复杂度：O(m * n)，其中 m 和 n 分别是 dna1 和 dna2 的长度。动态规划需要遍历整个二维表。
• 空间复杂度：O(m * n)，用于存储动态规划表。
总结
本题通过经典的动态规划方法解决编辑距离问题，有着广泛的应用场景，例如 DNA 序列比对、拼写纠错和文本比较等。该算法逻辑清晰且高效，非常适合作为学习动态规划的入门案例。在实际应用中，可以通过优化空间复杂度进一步提升性能，例如使用滚动数组代替二维数组存储。
