最大矩形面积问题 | 豆包MarsCode AI刷题

最大矩形面积问题的深入解析：基于栈的优化解法

问题描述

在一组高度数组中，找到任意连续的 k 个元素能够构成的最大矩形面积。

输入：

• 一个数组表示高度。
• 输出矩形的最大面积。

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解题思路

对于这个问题，我们可以借助单调栈的思想来优化解法。以下是实现过程的详细分析。

解法概要

1. 利用单调栈维护一个递增高度序列。
2. 当遇到当前高度小于栈顶高度时，计算以栈顶高度为最小值的矩形面积。
3. 在数组首尾添加哨兵值（高度为0），确保所有柱体都能计算。

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详细步骤

1. 数组预处理：

   • 为避免处理边界问题，在数组前后分别添加高度为 0 的哨兵值。
   • 新数组长度为 n + 2。

2. 遍历高度数组：

   • 利用栈存储柱状图的索引。
   • 如果当前高度小于栈顶高度，则开始计算矩形面积。

3. 计算面积：

   • 弹出栈顶索引，设其高度为矩形最小高度。
   • 宽度为当前索引与栈顶索引的差值减 1。
   • 更新最大面积。

4. 最终结果：

   • 遍历结束后，最大面积即为结果。

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代码实现

import java.util.Stack;

public class Main {

    public static int solution(int n, int[] heights) {
        // 创建一个栈，保存每个高度的索引
        Stack<Integer> stack = new Stack<>();
        int maxArea = 0;

        // 为了处理边界情况，在原数组前后分别添加一个高度为0的哨兵元素
        int[] newHeights = new int[n + 2];
        System.arraycopy(heights, 0, newHeights, 1, n);

        // 遍历所有的柱状图高度
        for (int i = 0; i < newHeights.length; i++) {
            // 如果当前高度比栈顶的高度小，说明可以计算以栈顶高度为最小值的面积
            while (!stack.isEmpty() && newHeights[i] < newHeights[stack.peek()]) {
                int h = newHeights[stack.pop()]; // 栈顶元素作为高度
                int width = i - stack.peek() - 1; // 计算宽度
                maxArea = Math.max(maxArea, h * width); // 更新最大面积
            }
            stack.push(i); // 当前索引入栈
        }

        return maxArea;
    }

    public static void main(String[] args) {
        // 测试用例
        System.out.println(solution(5, new int[]{1, 2, 3, 4, 5}) == 9);
        System.out.println(solution(5, new int[]{5, 4, 3, 2, 1}) == 9);
        System.out.println(solution(6, new int[]{2, 1, 5, 6, 2, 3}) == 10);
    }
}

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代码分析

1. 单调栈的维护：

   • 栈中存储的是高度的索引，并且对应的高度保持递增。
   • 遇到更小的高度时，弹出栈顶进行面积计算。

2. 面积计算的核心公式：

   • 高度：弹出栈顶的高度。
   • 宽度：i - stack.peek() - 1，其中 i 是当前索引，stack.peek() 是栈新的栈顶。
   • 面积：height * width。

3. 哨兵的作用：

   • 在数组前后加入高度为 0 的哨兵，确保可以计算所有柱体的面积。

4. 时间复杂度：

   • 每个元素最多被压入和弹出一次，时间复杂度为 O(n)。

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测试用例解析

用例1：

• 输入：[1, 2, 3, 4, 5]

• 过程：

  • 栈变化：[1] -> [1,2] -> [1,2,3] -> [1,2,3,4] -> [1,2,3,4,5] -> ...
  • 面积计算：5*1=5, 4*2=8, 3*3=9。

• 输出：9

用例2：

• 输入：[5, 4, 3, 2, 1]

• 过程：

  • 栈变化：逐渐弹出较大的高度。
  • 面积计算：5*1=5, 4*2=8, 3*3=9。

• 输出：9

用例3：

• 输入：[2, 1, 5, 6, 2, 3]

• 过程：

  • 栈变化：弹出较小高度，逐步计算面积。
  • 面积计算：6*1=6, 5*2=10。

• 输出：10

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个人思考与扩展

1. 单调栈的适用场景：

   • 单调栈适合解决连续性子问题，如：

     • 柱状图最大矩形面积。
     • 下一个更大元素的问题。

2. 代码优化：

   • 当前实现清晰，但可以通过内存池优化栈存储以节省空间。

3. 与其他算法的对比：

   • 动态规划：处理类似问题时会保存更多中间状态，适合多次查询场景。
   • 暴力法：复杂度 O(n^2)，仅适合小规模数据。

单调栈是一个强大的工具，在解决矩形面积和类似问题时，不仅效率高，还能确保代码逻辑清晰易懂。这种方式值得在更多场景中推广。