找出最大UCC子串
问题描述
小S有一个由字符 'U' 和 'C' 组成的字符串 S，并希望在编辑距离不超过给定值 m 的条件下，尽可能多地在字符串中找到 "UCC" 子串。编辑距离定义为将字符串 S 转化为其他字符串时所需的最少编辑操作次数。允许的每次编辑操作是插入、删除或替换单个字符。你需要计算在给定的编辑距离限制 m 下，能够包含最多 "UCC" 子串的字符串可能包含多少个这样的子串。
示例
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样例1：
- 输入：m = 3, s = "UCUUCCCCC"
- 输出：3
- 解释：可以将字符串修改为 "UCCUCCUCC"（2 次替换操作，不超过给定值 m = 3），包含 3 个 "UCC" 子串。
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样例2：
- 输入：m = 6, s = "U"
- 输出：2
- 解释：后面插入 5 个字符 "CCUCC"（5 次插入操作，不超过给定值 m = 6），可以将字符串修改为 "UCCUCC"，包含 2 个 "UCC" 子串。
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样例3：
- 输入：m = 2, s = "UCCUUU"
- 输出：2
- 解释：替换最后 2 个字符，可以将字符串修改为 "UCCUCC"，包含 2 个 "UCC" 子串。
动态规划解法
为了找到最大数量的 "UCC" 子串，我们可以使用动态规划的方法。具体步骤如下：
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初始化动态规划数组：
dp[i][e]表示前 i 个字符编辑 e 次后得到的 "UCC" 子串的数量。- 初始状态
dp[0][0] = 0，表示空字符串不需要任何编辑操作。
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第一次动态规划：
- 计算从每个字符开始，为了匹配 "UCC" 产生的最小编辑距离和匹配成功时的长度。
- 使用一个辅助数组
match_info来存储从每个位置开始匹配 "UCC" 的最小编辑距离和匹配长度。
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主过程的动态规划：
- 遍历字符串的每一个字符，对于每一个字符，考虑保留、删除和插入操作。
- 如果当前字符可以匹配到 "UCC"，则更新
dp数组。
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找到最大匹配数量：
- 遍历所有可能的编辑次数，找到最大的 "UCC" 子串数量。
代码实现
def solution(m: int, s: str) -> int:
n = len(s)
dp = [[-1] * (m + 1) for _ in range(n + 1)] # dp[i][e]：前i个字符编辑e次得到的’UCC'子串数量
dp[0][0] = 0
# 第一次动态规划
# 计算从每个字符开始，为了匹配 "UCC" 产生的最小编辑距离和匹配成功时的长度
# 每个字符的计算过程都是dp
match_info = [[] for _ in range(n)] # match_info[i] = 从s[i]开始，匹配“UCC”的(最小编辑距离，匹配成功时的长度)
for i in range(n):
max_len = min(n - i, 3 + m) # 从当前字符s[i]开始，匹配成功时可能达到的最大长度
# 从当前字符s[i]开始，匹配 "UCC" 的最小编辑距离
dp_match = [[float('inf')] * (max_len + 1) for _ in range(4)]
dp_match[0][0] = 0
for p in range(4): # 从s[i]开始匹配"UCC" 的进度：‘’->‘U'->'UC'->'UCC’
for q in range(max_len + 1): # 匹配过程中划过的长度 = 0,1,...,max_len
if dp_match[p][q] > m: # 编辑次数用完了
continue
if p < 3 and q < max_len: # 保留/替换
cost = 0 if s[i + q] == 'UCC'[p] else 1
dp_match[p + 1][q + 1] = min(dp_match[p + 1][q + 1], dp_match[p][q] + cost)
if p < 3: # 插入
dp_match[p + 1][q] = min(dp_match[p + 1][q], dp_match[p][q] + 1)
if q < max_len: # 删除
dp_match[p][q + 1] = min(dp_match[p][q + 1], dp_match[p][q] + 1)
# 统计
for q in range(max_len + 1):
c = dp_match[3][q]
match_info[i].append((c, q)) # (编辑距离，匹配长度)
# 主过程的动态规划：
for i in range(n + 1):
for e in range(m + 1):
if dp[i][e] == -1:
continue
if i < n: # 不尝试匹配 "UCC" --> 直接跳过/删除当前字符
dp[i + 1][e] = max(dp[i + 1][e], dp[i][e]) # 保留
if e + 1 <= m: # 删除
dp[i + 1][e + 1] = max(dp[i + 1][e + 1], dp[i][e])
if i < n and match_info[i]: # 尝试匹配
for c, l in match_info[i]: # 从当前字符串开始匹配‘UCC’的(最小编辑距离，匹配成功时长度)
if e + c <= m and i + l <= n:
dp[i + l][e + c] = max(dp[i + l][e + c], dp[i][e] + 1)
# 找到最大匹配数量
max_substrings = 0
for e in range(m + 1):
max_substrings = max(max_substrings, dp[n][e])
return max_substrings
个人思考与分析
通过上述代码，我们实现了一个动态规划算法来解决找出最大 "UCC" 子串的问题。该算法的核心思想是通过动态规划记录每一步的最优解，从而在有限的编辑次数内找到最多的 "UCC" 子串。这种方法的时间复杂度和空间复杂度都较高，但在给定的约束条件下是可行的。
在实际使用中，可以根据具体需求对算法进行优化，例如减少不必要的计算或者使用更高效的数据结构来存储中间结果。此外，还可以通过测试更多的边界情况来验证算法的正确性和鲁棒性。
