问题描述
小M有 �n 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面是 ��ai，背面是 ��bi。小M希望通过选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。你需要告诉小M，一共有多少种不同的方案可以满足这个条件。由于可能的方案数量过大，结果需要对 109+7109+7 取模。
例如：如果有3张卡牌，正反面数字分别为 (1,2)，(2,3) 和 (3,2)，你需要找到所有满足这3张卡牌正面或背面朝上的数字之和可以被3整除的组合数。
测试样例
样例1：
输入：
n = 3 ,a = [1, 2, 3] ,b = [2, 3, 2]
输出：3
样例2：
输入：
n = 4 ,a = [3, 1, 2, 4] ,b = [1, 2, 3, 1]
输出：6
样例3：
输入：
n = 5 ,a = [1, 2, 3, 4, 5] ,b = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：32
解题思路
-
理解问题：我们需要选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。
-
数据结构选择：我们可以使用一个二维数组
dp，其中dp[i][j]表示前i张卡牌中，选择某些面使得和模3余j的方案数。 -
算法步骤：
- 初始化
dp[0][0] = 1，表示不选任何卡牌时，和为0的方案数为1。 - 遍历每张卡牌，更新
dp数组。 - 最终结果为
dp[n][0]，即前n张卡牌中，选择某些面使得和模3余0的方案数。
- 初始化
关键步骤解释
- 初始化
dp数组：dp[0][0] = 1表示不选任何卡牌时，和为0的方案数为1。 - 遍历每张卡牌：对于每张卡牌，我们考虑选择正面或背面的情况，更新
dp数组。 - 更新
dp数组：对于每种余数j，我们更新选择当前卡牌正面或背面后的新余数。 - 返回结果：最终结果为
dp[n][0]，即前n张卡牌中，选择某些面使得和模3余0的方案数。
个人思考
在解决这个问题时，我首先考虑了如何选择卡牌。由于题目要求所有向上的数字之和可以被3整除，这让我想到了使用动态规划来记录每种可能的余数情况。
动态规划的核心思想是通过逐步构建解决方案来解决复杂问题。在这个问题中，我们可以通过逐步添加每张卡牌来更新可能的余数情况。具体来说，我们可以使用一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示前 i 张卡牌中，选择某些面使得和模3余 j 的方案数。
初始化时，dp[0][0] = 1 表示不选任何卡牌时，和为0的方案数为1。然后，我们遍历每张卡牌，考虑选择正面或背面的情况，并更新 dp 数组。最终，dp[n][0] 就是我们需要的答案，即前 n 张卡牌中，选择某些面使得和模3余0的方案数。
这个方法的优势在于它能够有效地处理每张卡牌的选择，并且通过动态规划的方式避免了重复计算。虽然初始化 dp 数组和更新 dp 数组的过程可能看起来有些复杂，但通过逐步推理和调试，我们可以确保每一步都是正确的。
总的来说，这个问题的解决思路让我对动态规划的应用有了更深的理解，尤其是在处理组合问题时，动态规划能够提供一种清晰且高效的解决方案。
