问题描述
小M有 n 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面是 a，背面是 b。小M希望通过选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。你需要告诉小M，一共有多少种不同的方案可以满足这个条件。由于可能的方案数量过大，结果需要对(10^9 + 7)取模。
例如：如果有3张卡牌，正反面数字分别为 (1,2)，(2,3) 和 (3,2)，你需要找到所有满足这3张卡牌正面或背面朝上的数字之和可以被3整除的组合数。
样例：
输入：n = 3 ,a = [1, 2, 3] ,b = [2, 3, 2]
输出：3
即满足条件的组合数有(1,3,2)，(1,2,3)，(2,2,2)三种。
问题理解
由题意可知，需要找到所有可能的卡牌组合，使得这些卡牌正面或背面朝上的数字之和可以被3整除。结果需要对 (10^9 + 7) 取模。可以使用动态规划（DP）来解决这个问题。将问题分为子问题，计算出每个子问题的解后记录下来，最后将其组合以得出最终的解。
具体来说，我们可以使用一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示前 i 张卡牌中，选择某些卡牌使得它们的和模3余数为 j 的方案数。
代码实践
以下是运用上述思路解决卡牌反面求和问题的Java代码
public class Main {
public static int solution(int n, int[] a, int[] b) {
// write code here
final int MOD = 1000000007;
// 初始化dp数组，dp[i][j]表示前i张卡牌中，和模3余数为j的方案数
int[][] dp = new int[n + 1][3];
dp[0][0] = 1; // 初始状态
// 遍历每一张卡牌
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 遍历当前所有可能的余数
for (int j = 0; j < 3; j++) {
if (dp[i][j] > 0) {
// 选择正面a[i]
dp[i + 1][(j + a[i]) % 3] = (dp[i + 1][(j + a[i]) % 3] + dp[i][j]) % MOD;
// 选择背面b[i]
dp[i + 1][(j + b[i]) % 3] = (dp[i + 1][(j + b[i]) % 3] + dp[i][j]) % MOD;
}
}
}
// 最终结果为dp[n][0]
return dp[n][0];
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(solution(3, new int[]{1, 2, 3}, new int[]{2, 3, 2}) == 3);
System.out.println(solution(4, new int[]{3, 1, 2, 4}, new int[]{1, 2, 3, 1}) == 6);
System.out.println(solution(5, new int[]{1, 2, 3, 4, 5}, new int[]{1, 2, 3, 4, 5}) == 32);
}
}
代码分析
-
初始状态：
- 当没有选择任何卡牌时，和为0，模3余数为0，所以
dp[0][0] = 1。
- 当没有选择任何卡牌时，和为0，模3余数为0，所以
-
状态转移：
- 对于每一张卡牌
i，我们需要考虑两种选择：选择正面a[i]或选择背面b[i]。 - 对于每一种选择，我们需要更新
dp[i+1][(j + a[i]) % 3]和dp[i+1][(j + b[i]) % 3]。 - 具体来说，如果当前状态
dp[i][j]表示前i张卡牌中，和模3余数为j的方案数，那么选择正面a[i]后，新的和模3余数为(j + a[i]) % 3，因此dp[i+1][(j + a[i]) % 3]需要加上dp[i][j]。 - 同理，选择背面
b[i]后，新的和模3余数为(j + b[i]) % 3，因此dp[i+1][(j + b[i]) % 3]需要加上dp[i][j]。
- 对于每一张卡牌
-
结果：
- 最终结果为
dp[n][0]，即前n张卡牌中，和模3余数为0的方案数。
- 最终结果为
总结
通过对本题的思考与学习，自己对动态规划方法的运用更加了解，对如何正确地进行状态转移有了进一步的学习。动态规划法有助于我们有效地计算出所有可能的组合，并找到满足条件的方案数，减少了计算次数，大大提高了运算效率。
