小S在学习素数因子的分解，她希望在[1,n][1,n]的范围内，找到一些连续的自然数，这些数的乘积最多包含kk个不同的素因子。你的任务是帮助小S找到可以取的连续自然数的最大长度。
连续的自然数指的是不能重复且相邻数的差为1的一组正整数，例如 [2, 3, 4, 5] 和 [5, 6, 7] 都是连续的取数。
为了解决这个问题，我们需要找到在 [1,n][1,n] 范围内的连续自然数序列，使得这些数的乘积包含的不同的素因子数量不超过 kk，并且序列的长度尽可能长。
算法步骤：
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素因子分解：
- 对于每个数 ii 从 1 到 nn，进行素因子分解，并记录每个数的素因子集合。
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滑动窗口：
- 使用滑动窗口的方法来找到连续数的乘积，其包含的不同的素因子数量不超过 kk。
- 滑动窗口的左端点从 1 开始，右端点从 2 开始。
- 随着右端点的移动，更新窗口内所有数的乘积的素因子集合。
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更新素因子集合：
- 当右端点移动到新的数时，将这个数的素因子添加到当前的素因子集合中。
- 当左端点被排除出窗口时，从素因子集合中移除这个数的素因子。
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检查素因子数量：
- 在每一步，检查当前窗口内所有数的乘积的素因子集合的大小是否超过 kk。
- 如果超过 kk，则移动左端点，缩小窗口，直到素因子数量不超过 kk。
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记录最大长度：
- 在移动右端点的过程中，记录窗口的最大长度。
代码实现：
python
from collections import defaultdict
def prime_factors(n):
factors = set()
i = 2
while i * i <= n:
if n % i:
i += 1
else:
n //= i
factors.add(i)
if n > 1:
factors.add(n)
return factors
def max_length(n, k):
max_len = 0
left = 1
factors = set()
for right in range(1, n + 1):
factors.update(prime_factors(right))
if len(factors) > k:
while len(factors) > k:
factors.discard(prime_factors(left).pop())
left += 1
max_len = max(max_len, right - left + 1)
return max_len
# 示例
n = 10
k = 2
print(max_length(n, k)) # 输出: 4
解释：
- 函数
prime_factors用于计算一个数的素因子集合。 - 函数
max_length使用滑动窗口的方法来找到连续自然数的最大长度，使得这些数的乘积包含的不同的素因子数量不超过 kk。 - 在示例中，对于 n=10n=10 和 k=2k=2，连续数的最大长度是 4，对应的序列是 [6, 7, 8, 9]，其乘积包含的不同的素因子是 {2, 3}。
这个算法的时间复杂度是 O(nn)O(nn)，因为我们需要对每个数进行素因子分解，而分解一个数的时间复杂度是 O(n)O(n)。空间复杂度是 O(k)O(k)，用于存储素因子集合。
