先看一个题目
补给站最优花费问题
问题描述
小U计划进行一场从地点A到地点B的徒步旅行，旅行总共需要 M 天。为了在旅途中确保安全，小U每天都需要消耗一份食物。在路程中，小U会经过一些补给站，这些补给站分布在不同的天数上，且每个补给站的食物价格各不相同。
小U需要在这些补给站中购买食物，以确保每天都有足够的食物。现在她想知道，如何规划在不同补给站的购买策略，以使她能够花费最少的钱顺利完成这次旅行。
M：总路程所需的天数。N：路上补给站的数量。p：每个补给站的描述，包含两个数字A和B，表示第A天有一个补给站，并且该站每份食物的价格为B元。
保证第0天一定有一个补给站，并且补给站是按顺序出现的。
下面是代码：
dp = [float('inf')] * (m + 1)
dp[0] = 0
for i in range(n):
for j in range(p[i][0], m + 1):
dp[j] = min(dp[j], dp[p[i][0]] + (j - p[i][0]) * p[i][1])
if dp[m] == float('inf'):
return -1
return dp[m]
在徒步旅行的情境中，合理规划在补给站的食物购买策略以最小化花费是一个具有实际意义且充满挑战的编程问题。本题中小 U 从地点 A 到地点 B 的徒步旅行，总天数为 M，途中有 N 个补给站，每个补给站在特定天数出现且食物价格各异，这要求我们运用有效的算法思路来确定最优的购买方案。
首先，理解动态规划在此问题中的应用是关键。通过创建一维数组 dp 来记录到达每一天的最小花费，这是一种将复杂的多阶段决策问题分解为逐个阶段求解的有效方式。例如，dp[0] 初始化为 0，代表在第 0 天出发时无花费，而其他元素初始化为正无穷大，这为后续计算最小花费提供了一个初始的比较基准。
在遍历补给站的过程中，两层嵌套循环发挥着核心作用。外层循环遍历每个补给站，对于每个补给站，内层循环从其所在天数开始到旅行总天数 M 进行迭代。以 solution(5, 4, [[0, 2], [1, 3], [2, 1], [3, 2]]) 为例，当处理第一个补给站 [0, 2] 时，内层循环依次计算从第 0 天购买食物支撑到后续每一天的花费情况。如 dp[1] = min(dp[1], dp[0] + (1 - 0) * 2)，这里 dp[0] 为 0，(1 - 0) * 2 表示从第 0 天到第 1 天需要 1 份食物，每份价格为 2，计算得到 dp[1] 为 2。这个过程实际上是在考虑如果仅依靠当前补给站的食物来满足后续天数需求时的花费，并与之前可能存在的到达该天的花费情况（初始为正无穷大）进行比较，取最小值更新 dp 数组。
当处理后续补给站时，如第二个补给站 [1, 3]，同样以内层循环计算从第 1 天购买食物支撑到后续天数的花费。此时，dp 数组中已经有了之前计算的部分结果，例如 dp[2] 会比较之前的值（可能是从第一个补给站计算得到的 4）和从第二个补给站购买食物支撑到第 2 天的花费（dp[1] + (2 - 1) * 3 = 2 + 1 * 3 = 5），取最小值 4 更新 dp[2]。这种不断比较和更新的过程，充分利用了之前的计算结果，避免了重复计算，体现了动态规划的优化思想。
从算法复杂度来看，外层循环遍历 N 个补给站，内层循环最多遍历 M 次，所以时间复杂度为 。空间复杂度主要取决于 dp 数组的大小，为 。
在实际应用场景中，类似的规划问题广泛存在。在物流配送中，车辆在不同站点补充燃料或资源，需要根据站点资源价格和后续行程需求规划补充策略以最小化成本，可借鉴此算法。在项目资源分配中，项目周期内不同阶段有资源获取点，根据各阶段资源需求和获取成本规划资源采购计划，也可运用相同的思路。
通过动态规划的思想，利用 dp 数组记录最小花费并通过两层循环遍历补给站更新数组，成功地解决了徒步旅行食物补给最小花费规划问题。这一逻辑不仅适用于本题的徒步旅行情境，也为众多类似的资源规划与成本优化问题提供了有效的解决范例和编程思路，有助于开发人员在面对此类问题时设计出高效、准确的解决方案。
