小M有 𝑛n 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面是 𝑎𝑖ai，背面是 𝑏𝑖bi。小M希望通过选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。你需要告诉小M，一共有多少种不同的方案可以满足这个条件。由于可能的方案数量过大，结果需要对 109+7109+7 取模。
例如：如果有3张卡牌，正反面数字分别为 (1,2)，(2,3) 和 (3,2)，你需要找到所有满足这3张卡牌正面或背面朝上的数字之和可以被3整除的组合数。
问题理解
你需要找到所有可能的卡牌组合，使得这些卡牌正面或背面朝上的数字之和可以被3整除。每张卡牌有两个选择：正面或背面。
数据结构选择
由于我们需要计算所有可能的组合，并且需要快速判断一个组合是否满足条件，动态规划（DP）是一个合适的选择。我们可以使用一个数组来记录当前所有可能的和模3的结果。
算法步骤
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初始化：创建一个长度为3的数组
dp，用于记录当前所有可能的和模3的结果。初始时，dp[0]为1（表示和为0的情况），其他为0。 -
状态转移：
- 对于每一张卡牌，我们有两个选择：正面或背面。
- 对于每一个选择，更新
dp数组。具体来说，对于当前的dp[i]，我们可以通过加上卡牌的正面或背面数字来更新dp[(i + a_i) % 3]和dp[(i + b_i) % 3]。
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结果：最终，
dp[0]就是所有满足条件的组合数。
总结
通过动态规划，我们可以高效地计算出所有满足条件的组合数。关键在于如何更新 dp 数组，确保每一步都考虑到所有可能的选择。
好的，让我们详细讨论如何使用动态规划来解决这个问题。
动态规划思路
定义状态：
我们使用一个长度为3的数组 dp，其中 dp[i] 表示当前所有可能的和模3等于 i 的组合数。
初始化：
初始时，dp[0] = 1，表示和为0的情况有一种（即什么都不选），其他 dp[1] 和 dp[2] 初始为0。
状态转移：
对于每一张卡牌，我们有两个选择：正面或背面。
对于每一个选择，更新 dp 数组。具体来说，对于当前的 dp[i]，我们可以通过加上卡牌的正面或背面数字来更新 dp[(i + a_i) % 3] 和 dp[(i + b_i) % 3]。
结果：
最终，dp[0] 就是所有满足条件的组合数。
代码框架
python
def solution(n: int, a: list, b: list) -> int: MOD = 10**9 + 7 # 初始化dp数组 dp = [0] * 3 dp[0] = 1 # 遍历每一张卡牌 for i in range(n): # 创建一个新的dp数组来 存储更新后的结果 new_dp = [0] * 3 # 更新dp数组 for j in range(3): if dp[j] > 0: new_dp[(j + a[i]) % 3] = (new_dp [(j + a[i]) % 3] + dp [j]) % MOD new_dp[(j + b[i]) % 3] = (new_dp [(j + b[i]) % 3] + dp [j]) % MOD # 将new_dp赋值给dp dp = new_dp # 返回结果 return dp[0]if name == 'main': print(solution(n = 3, a = [1, 2, 3], b = [2, 3, 2]) == 3) print(solution(n = 4, a = [3, 1, 2, 4], b = [1, 2, 3, 1]) == 6) print(solution(n = 5, a = [1, 2, 3, 4, 5], b = [1, 2, 3, 4, 5]) == 32)
关键步骤解释 初始化： dp = [0] * 3 初始化一个长度为3的数组，dp[0] = 1 表示和为0的情况有一种。 状态转移： 对于每一张卡牌，我们创建一个新的 new_dp 数组来存储更新后的结果。 对于每一个可能的和模3的结果 j，我们更新 new_dp[(j + a[i]) % 3] 和 new_dp[(j + b[i]) % 3]。 结果： 最终，dp[0] 就是所有满足条件的组合数。
