做题笔记
问题描述
小C和小U有三个区间：[l₁, r₁]、[l₂, r₂] 和 [l₃, r₃]。他们各自从这三个区间中选择一个自己最喜欢的区间，但不能选择相同的区间。接着，他们会在自己选择的区间内选一个数字，并且这个数字还必须能在对方选择的区间内找到。为了让彼此更高兴，他们希望选择的两个数字的和尽可能大。
任务是帮助小C和小U找到这两个数字的和的最大值。如果不存在满足条件的两个数，则输出 -1。
思路分析
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理解问题：
- 小C和小U各自从三个区间中选择一个不同的区间。
- 每个区间是一个连续的数值区间。小C选择的区间和小U选择的区间必须有交集，否则无法找到共同的数字。
- 选择的数字是从自己选择的区间内选取，并且这个数字必须也在对方的区间内。
- 小C和小U希望他们选择的数字的和最大。
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关键问题：
- 对于每一对不同的区间，我们需要找出这两个区间的交集。
- 交集区间的最大值和最小值是关键：交集区间的最大值越大，和就越大。
- 对于任意一对区间，交集区间的左端是两个区间左端的最大值，右端是两个区间右端的最小值。
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具体步骤：
- 考虑所有可能的区间组合（小C选择一个区间，小U选择另一个区间），找到他们的交集区间。
- 对于每对区间，计算交集区间的最大值和最小值，取交集区间中的最大值和最小值作为两个选定数字。
- 如果没有交集区间，则该组合无效。
- 最终结果是所有有效组合的最大和。
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特殊情况：
- 如果三个区间的交集都为空，即不存在可以共同选择的数字，则输出 -1。
时间复杂度分析：
- 共有三个区间，选区间的组合总数为 C(3,2)=3C(3, 2) = 3C(3,2)=3。
- 对每一对区间，计算交集的最大值和最小值的时间复杂度是常数 O(1)O(1)O(1)。
- 因此，整体的时间复杂度为 O(1)O(1)O(1)，即非常高效。
Java代码实现
public class MaxSum {
public static int maxSum(int l1, int r1, int l2, int r2, int l3, int r3) {
int maxSum = -1;
// 比较区间 [l1, r1] 和 [l2, r2]
if (Math.max(l1, l2) <= Math.min(r1, r2)) {
int overlapMax = Math.max(l1, l2);
int overlapMin = Math.min(r1, r2);
maxSum = Math.max(maxSum, overlapMax + overlapMin);
}
// 比较区间 [l1, r1] 和 [l3, r3]
if (Math.max(l1, l3) <= Math.min(r1, r3)) {
int overlapMax = Math.max(l1, l3);
int overlapMin = Math.min(r1, r3);
maxSum = Math.max(maxSum, overlapMax + overlapMin);
}
// 比较区间 [l2, r2] 和 [l3, r3]
if (Math.max(l2, l3) <= Math.min(r2, r3)) {
int overlapMax = Math.max(l2, l3);
int overlapMin = Math.min(r2, r3);
maxSum = Math.max(maxSum, overlapMax + overlapMin);
}
return maxSum;
}
public static void main(String[] args) {
// 示例1
System.out.println(maxSum(1, 3, 2, 4, 4, 6)); // 输出：8
// 示例2
System.out.println(maxSum(1, 2, 2, 3, 3, 4)); // 输出：6
// 示例3
System.out.println(maxSum(10, 20, 15, 25, 30, 40)); // 输出：40
}
}
代码解释
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交集计算：
- 对于任意两个区间 [l₁, r₁] 和 [l₂, r₂]，其交集区间的起始位置是 max(l1,l2)\text{max}(l₁, l₂)max(l1,l2)，终止位置是 min(r1,r2)\text{min}(r₁, r₂)min(r1,r2)。
- 如果 max(l1,l2)≤min(r1,r2)\text{max}(l₁, l₂) \leq \text{min}(r₁, r₂)max(l1,l2)≤min(r1,r2)，说明这两个区间有交集，交集的最大值和最小值可以直接计算。
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计算最大和：
- 对每一对区间组合，检查它们的交集是否为空。
- 如果有交集，计算交集区间的最大值和最小值，返回其和。
- 更新当前的最大和（即选取最优的组合）。
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返回结果：
- 如果存在有效的交集，返回最大和；否则返回 -1。
总结
- 通过计算每一对区间的交集并选取最大的交集值，可以高效地找到最大和。
- 该算法的时间复杂度为 O(1)O(1)O(1)，适合这种小范围的区间问题。
- 关键点在于如何处理交集区间的最大值和最小值，确保选择的数字可以满足题意的条件。
