在城市规划中，合理选择火车站的建设地点对于提高居民出行效率至关重要。在这类问题中，我们需要考虑如何最优化地选择一个火车站位置，使得市民到火车站的总旅行时间最短。这里的旅行时间由曼哈顿距离来度量，即两个点 [x1,y1][x1,y1] 和 [x2,y2][x2,y2] 之间的距离为 ∣x1−x2∣+∣y1−y2∣∣x1−x2∣+∣y1−y2∣。
问题分析
我们给定了：
N：市民的数量，每个市民的居住位置由一个二维坐标 [xi,yi][xi,yi] 表示。M：备选的火车站位置数，每个位置同样由一个二维坐标 [pi,qi][pi,qi] 表示。
目标是从这 M 个备选位置中选择一个，使得市民到火车站的总曼哈顿距离最小。如果有多个备选位置距离相同，则选择第一个出现的。
解题思路
1. 曼哈顿距离的计算
曼哈顿距离的计算公式是：
distance(A,B)=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣distance(A,B)=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣
这意味着我们可以通过简单的加法和绝对值运算来得到两个点之间的距离。对于每个市民和每个备选火车站位置，我们都需要计算出到该位置的曼哈顿距离，并累加起来。
2. 遍历所有备选位置
对于每一个备选的火车站位置，我们需要：
- 计算所有市民到该位置的曼哈顿距离的总和。
- 保留距离最小的火车站位置。
3. 优化计算
由于题目要求找到最小总距离的火车站位置，并且可能存在多个备选位置的距离相同，因此我们只需遍历所有备选位置，计算每个位置的总距离，并更新当前最优解。
4. 代码实现
pythonCopy Code
def findBestLocation(n, m, citizens, locations):
min_distance = float('inf')
best_location = None
# 遍历所有备选火车站位置
for location in locations:
total_distance = 0
# 计算所有市民到当前火车站位置的总距离
for citizen in citizens:
total_distance += abs(citizen[0] - location[0]) + abs(citizen[1] - location[1])
# 如果当前火车站的总距离更小，则更新最优解
if total_distance < min_distance:
min_distance = total_distance
best_location = location
return best_location
5. 时间复杂度分析
我们需要遍历所有的备选火车站位置，且对于每个位置都要遍历所有市民的位置来计算总曼哈顿距离。因此，时间复杂度为：
O(M×N)O(M×N)
其中 MM 是备选火车站的位置数，NN 是市民的数量。在数据规模较小的情况下，这种算法能够在合理时间内给出结果。
6. 案例分析
让我们通过几个案例来加深对算法的理解：
样例 1：
pythonCopy Code
n = 4
m = 3
citizens = [[-1, -1], [-1, 1], [1, -1], [1, 1]]
locations = [[3, 2], [1, 0], [0, 0]]
对于每个备选位置，我们分别计算市民到该位置的曼哈顿距离：
- 对于位置 [3, 2]，总距离为 1212
- 对于位置 [1, 0]，总距离为 88
- 对于位置 [0, 0]，总距离为 1010
因此，选择位置 [1, 0]。
样例 2：
pythonCopy Code
n = 2
m = 2
citizens = [[0, 0], [0, 4]]
locations = [[0, 2], [0, 3]]
- 对于位置 [0, 2]，总距离为 44
- 对于位置 [0, 3]，总距离为 44
由于总距离相同，选择第一个出现的 [0, 2]。
样例 3：
pythonCopy Code
n = 3
m = 1
citizens = [[10, 10], [20, 20], [30, 30]]
locations = [[15, 15]]
只有一个备选位置 [15, 15]，直接选择该位置。
7. 结论与思考
通过上述分析与代码实现，可以看出解决该问题的关键在于如何有效计算每个备选位置的总曼哈顿距离，并且选择最小的那个。时间复杂度是 O(M×N)O(M×N)，对于大部分实际情况已经足够高效。
对于更大的输入数据，可以考虑通过其他更复杂的优化算法来提升性能，但在这个问题规模下，采用暴力搜索法足以满足需求。
