环形DNA的最小表达问题
问题描述
小C正在研究一种环状的 DNA 结构，它由四种碱基A、C、G、T构成。这种环状结构的特点是可以从任何位置开始读取序列，因此一个长度为 n 的碱基序列可以有 n 种不同的表示方式。小C的任务是从这些表示中找到字典序最小的序列，即该序列的“最小表示”。
例如：碱基序列 ATCA 从不同位置读取可能的表示有 ATCA, TCAA, CAAT, AATC，其中 AATC 是字典序最小的表示。
样例1：
输入：
dna_sequence = "ATCA"
输出：'AATC'
样例2：
输入：
dna_sequence = "CGAGTC"
输出：'AGTCCG'
样例3：
输入：
dna_sequence = "TTGAC"
输出：'ACTTG'
解题思路
可以采用暴力枚举的方法，枚举所有可能的子串，比较得到字典序最小的子串。由于环形DNA可以从任意位置读取，我们可以将原始序列与自身拼接成一个新的字符串 extendedDna，从而模拟所有可能的旋转表示。然后，遍历所有长度为 nn 的子串，从中选出字典序最小的那一个。以下是具体的步骤：
- 将原始DNA序列拼接成一个新的字符串
extendedDna = dna_sequence + dna_sequence。 - 遍历
extendedDna中的所有长度为 nn 的子串。 - 逐一比较子串的字典序，找到字典序最小的子串。
实现代码
以下是基于上述思路的 Java 实现：
public class Main {
public static String solution(String dna_sequence) {
int n = dna_sequence.length();
// 拼接 DNA 序列，模拟旋转
String extendedDna = dna_sequence + dna_sequence;
// 初始化最小序列为拼接后的第一个子串
String minRotation = extendedDna.substring(0, n);
// 按字典序比较所有可能的序列
for (int i = 1; i < n; i++) {
// 截取从 i 开始的长度为 n 的子串
String currentRotation = extendedDna.substring(i, i + n);
if (currentRotation.compareTo(minRotation) < 0) {
minRotation = currentRotation;
}
}
return minRotation;
}
public static void main(String[] args) {
// You can add more test cases here
System.out.println(solution("ATCA").equals("AATC"));
System.out.println(solution("CGAGTC").equals("AGTCCG"));
System.out.println(solution("TCATGGAGTGCTCCTGGAGGCTGAGTCCATCTCCAGTAG").equals("AGGCTGAGTCCATCTCCAGTAGTCATGGAGTGCTCCTGG"));
}
}
代码分析
核心逻辑
- 拼接字符串：通过将原始字符串与自身拼接，模拟了环形结构的所有旋转。
- 子串截取与比较：遍历所有可能的子串，逐一比较，找到字典序最小的那一个。
复杂度分析
-
时间复杂度：
- 遍历字符串的所有旋转表示需要 O(n)O(n)。
- 每次截取子串和比较的时间复杂度为 O(n)O(n)。
- 总时间复杂度为 O(n2)O(n^2)。
-
空间复杂度：
- 拼接字符串占用 O(2n)O(2n) 空间，复杂度为 O(n)O(n)。
示例分析
示例 1
输入：ATCA
拼接后：extendedDna = ATCAATCA
所有子串：ATCA、TCAA、CAAT、AATC
最小字典序：AATC
输出：AATC
示例 2
输入：CGAGTC
拼接后：extendedDna = CGAGTCCGAGTC
所有子串：CGAGTC、GAGTCC、AGTCCG、GTCCGA、TCCGAG、CCGAGT
最小字典序：AGTCCG
输出：AGTCCG
方法优化
上述方法在时间复杂度上为 O(n^2)。在实际应用中，可以使用 Booth's Algorithm 来优化（感兴趣了解一下），时间复杂度为 O(n)。该算法通过计算字符串的最小循环移位索引来直接找到最小表示。
总结
本文介绍了环形DNA的最小表示问题，并使用拼接字符串和字典序比较的方法给出了解决方案。这种方法简单易懂，适用于小规模输入。通过进一步学习优化算法，如 Booth 算法，可以显著提高效率，适应更大规模的 DNA 序列分析需求。
