兔群繁殖之谜 | 豆包MarsCode AI刷题

这是一道经典的算法题目，它涉及到著名的斐波那契数列。题目要求我们编写一个程序，用于求解斐波那契数列的第n项的值。斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契在1202年提出的，它是一个非常有趣的数列，其特点是从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

由于斐波那契数列的定义具有递归性质，我们首先考虑使用递归的方式来求解这个问题。递归算法简洁易懂，符合斐波那契数列的定义。具体实现如下：

def solution(A: int) -> int:
    # Edit your code here
    def fibonacci(n):
        return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2)
    return fibonacci(A)

然而，在实际应用中，我们发现递归算法虽然简洁，但其效率并不高。在A=15时，递归已经无法正常计算出结果了。递归过程中存在大量的重复计算，例如在计算f(3)的时候，我们需要计算f(2)和f(1)，而在计算f(4)的时候，我们同样需要计算f(2)和f(1)。这种重复计算导致了算法的时间复杂度非常高，为O(2^n)，这对于较大的n值来说，计算速度会非常慢。

为了解决这个问题，我们可以采用动态规划的思想。动态规划是一种将复杂问题分解成简单子问题，并存储子问题解的方法，从而避免重复计算。我们可以使用一个字典来存储已经计算过的斐波那契数列的值，当需要计算新的项时，首先检查字典中是否已经存在该值，如果存在，则直接返回，否则进行计算并存储到字典中。

以下是使用动态规划求解斐波那契数列第n项的值的代码实现：

def solution(A: int) -> int:
    store={
        0:1,
        1:1}
    # Edit your code here
    def fibonacci(n):
        try:
            store[n]
        except KeyError:
            store[n]=fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2)
        return store[n]
    return fibonacci(A)

通过这种方式，我们将算法的时间复杂度降低到了O(n)，大大提高了计算效率。动态规划不仅解决了递归算法中的重复计算问题，而且在实际应用中，对于大规模数据的处理具有显著的优势。因此，在求解斐波那契数列第n项的值时，动态规划是一种更为高效和实用的算法。