问题描述
小M有 nn 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面是 aiai，背面是 bibi。小M希望通过选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。你需要告诉小M，一共有多少种不同的方案可以满足这个条件。由于可能的方案数量过大，结果需要对 109+7109+7 取模。
例如：如果有3张卡牌，正反面数字分别为 (1,2)，(2,3) 和 (3,2)，你需要找到所有满足这3张卡牌正面或背面朝上的数字之和可以被3整除的组合数。
测试样例
样例1：
输入：
n = 3 ,a = [1, 2, 3] ,b = [2, 3, 2]
输出：3
样例2：
输入：
n = 4 ,a = [3, 1, 2, 4] ,b = [1, 2, 3, 1]
输出：6
样例3：
输入：
n = 5 ,a = [1, 2, 3, 4, 5] ,b = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：32
解题思路
-
动态规划数组初始化：
- 初始化一个二维动态规划数组
dp，其中dp[i][j]表示前i张卡牌中，选择某些卡牌使得和模3余j的组合数。 - 初始状态
dp[0][0] = 1表示不选择任何卡牌时，和为0的组合数为1。
- 初始化一个二维动态规划数组
算法步骤
-
初始化：
dp[0][0] = 1，表示不选择任何卡牌时，和为0的组合数为1。dp[0][1] = 0和dp[0][2] = 0，表示不选择任何卡牌时，和模3余1或2的组合数为0。
-
状态转移：
-
遍历每一张卡牌，对于每一张卡牌，我们考虑选择正面或背面的情况。
-
更新
dp数组：- 如果选择正面，新的余数为
(j + front) % 3。 - 如果选择背面，新的余数为
(j + back) % 3。 - 更新
dp[i][(j + front) % 3]和dp[i][(j + back) % 3]。
- 如果选择正面，新的余数为
-
-
最终结果：
dp[n][0]表示前n张卡牌中，选择某些卡牌使得和模3余0的组合数。
-
取模操作：
- 由于结果可能非常大，需要在每次更新
dp数组时对10^9 + 7取模。
- 由于结果可能非常大，需要在每次更新
-
最终结果：
- 最终结果为
dp[n][0]，表示前n张卡牌中，选择某些卡牌使得和模3余0的组合数。
- 最终结果为
通过动态规划，我们可以有效地计算出所有可能的组合数，使得这些组合的数字之和可以被3整除。
解题代码
#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
using namespace std;
const int MOD = 1e9 + 7;
int solution(int n, vector<int> a, vector<int> b) {
// 初始化 dp 数组，dp[i][j] 表示前 i 张卡牌中，选择某些卡牌使得和模3余 j 的组合数
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(3, 0));
dp[0][0] = 1; // 初始状态，不选择任何卡牌时，和为0的组合数为1
// 遍历每一张卡牌
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
// 当前卡牌的正面和背面的数字
int front = a[i - 1];
int back = b[i - 1];
// 更新 dp 数组
for (int j = 0; j < 3; ++j) {
// 选择正面的情况
dp[i][(j + front) % 3] = (dp[i][(j + front) % 3] + dp[i - 1][j]) % MOD;
// 选择背面的情况
dp[i][(j + back) % 3] = (dp[i][(j + back) % 3] + dp[i - 1][j]) % MOD;
}
}
// 最终结果为 dp[n][0]，表示前 n 张卡牌中，选择某些卡牌使得和模3余0的组合数
return dp[n][0];
}
int main() {
std::cout << (solution(3, {1, 2, 3}, {2, 3, 2}) == 3) << std::endl;
std::cout << (solution(4, {3, 1, 2, 4}, {1, 2, 3, 1}) == 6) << std::endl;
std::cout << (solution(5, {1, 2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}) == 32) << std::endl;
return 0;
}
至此，该题被成功求解。
题目总结
这是一道典型的动态规划问题。
