做题笔记
问题描述
小F在“双十一”期间购买了 NNN 件商品。每件商品有一个价格 p[i]p[i]p[i]，小F可以获得的优惠取决于该商品之前的一件商品。如果某一件商品的价格 p[i]p[i]p[i] 大于等于前面的某个商品 p[j]p[j]p[j]，则小F可以享受该商品 p[j]p[j]p[j] 的价格作为优惠，前提是 p[j]p[j]p[j] 是离 p[i]p[i]p[i] 最近的且满足条件的商品。
例如，给定价格数组 p=[9,4,5,2,4]p = [9, 4, 5, 2, 4]p=[9,4,5,2,4]，其中 p[3]=2p[3] = 2p[3]=2 之前没有商品的价格小于等于 p[3]p[3]p[3]，因此没有优惠；而 p[2]=5p[2] = 5p[2]=5 可以享受最近的商品 p[1]=4p[1] = 4p[1]=4 的价格作为优惠。
任务是计算小F能获得的总优惠。
思路分析
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问题分析：
- 我们需要遍历价格数组 p[i]p[i]p[i]，并找出每个商品之前的最近的满足条件的商品 p[j]p[j]p[j]，即 p[j]≤p[i]p[j] \leq p[i]p[j]≤p[i]。
- 如果找到了满足条件的商品，我们就将该商品的价格作为优惠，并累加到总优惠中。
- 需要注意的是，每个商品只能享受一个优惠，这个优惠是基于其前面最近符合条件的商品。
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优化思路：
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直接遍历每个商品，对于每个商品 p[i]p[i]p[i]，从 i−1i-1i−1 到 0 依次查找符合条件的商品会有 O(N2)O(N^2)O(N2) 的时间复杂度，这在商品数量较大时可能会很慢。
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可以利用 栈 来优化这一过程。栈可以帮助我们保持商品的价格及其索引，快速找到每个商品的最近满足条件的商品。
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具体做法是：
- 从左到右遍历每个商品，对于当前商品 p[i]p[i]p[i]，我们使用栈来存储当前价格能够享受优惠的商品。
- 如果栈顶的商品价格小于等于当前商品 p[i]p[i]p[i]，则栈顶的商品可以作为当前商品的优惠。
- 否则，弹出栈顶商品，直到找到一个符合条件的商品。
- 每找到一个符合条件的商品后，就将其价格加入总优惠。
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时间复杂度分析：
- 使用栈优化后，每个商品最多进栈和出栈一次，因此时间复杂度为 O(N)O(N)O(N)，比直接双重遍历的 O(N2)O(N^2)O(N2) 高效得多。
Java代码实现
import java.util.Stack;
public class ShoppingDiscount {
public static int calculateTotalDiscount(int N, int[] p) {
// 初始化一个栈，存储商品的价格
Stack<Integer> stack = new Stack<>();
int totalDiscount = 0;
for (int i = 0; i < N; i++) {
// 如果栈非空并且栈顶的商品价格大于当前商品价格
// 就把栈顶的商品价格作为优惠价格
while (!stack.isEmpty() && stack.peek() > p[i]) {
stack.pop();
}
if (!stack.isEmpty()) {
totalDiscount += stack.peek();
}
// 将当前商品价格压入栈中
stack.push(p[i]);
}
return totalDiscount;
}
public static void main(String[] args) {
// 示例1
int[] p1 = {9, 4, 5, 2, 4};
System.out.println(calculateTotalDiscount(5, p1)); // 输出：6
// 示例2
int[] p2 = {1, 2, 3, 5};
System.out.println(calculateTotalDiscount(4, p2)); // 输出：6
// 示例3
int[] p3 = {4, 3, 2, 1};
System.out.println(calculateTotalDiscount(4, p3)); // 输出：0
}
}
代码解释
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栈的使用：
- 我们使用一个栈来记录遍历过程中商品的价格。栈的作用是帮助我们找到离当前商品最近的、符合条件的商品价格。
- 对于每一个商品 p[i]p[i]p[i]，我们将栈中所有大于 p[i]p[i]p[i] 的价格弹出，因为这些商品无法作为当前商品的优惠商品。
- 一旦栈顶商品价格小于等于当前商品价格，我们就找到了最近满足条件的商品，将其价格加入到总优惠中。
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主要操作：
- 每遍历到一个商品 p[i]p[i]p[i]，我们首先查看栈顶的商品。如果栈顶商品的价格大于当前商品价格，则弹出栈顶商品，直到找到合适的商品。
- 如果栈中仍然有商品，则栈顶商品即为当前商品的优惠商品。
- 当前商品价格无论如何都会被加入到栈中，以便它成为后续商品的可能优惠商品。
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时间复杂度：
- 栈操作（入栈和出栈）每个商品最多进行一次，因此整个过程的时间复杂度为 O(N)O(N)O(N)，其中 NNN 是商品的数量。
