66. 魔法甜品之和
在本题中，我们面临一个经典的组合问题——通过选取一些甜点并可能使用魔法棒（将其喜爱值变为阶乘）使得它们的总喜爱值恰好等于给定的值 S。我们需要考虑如何在给定的条件下找到不同的方案数。特别地，题目给出了多个参数，要求我们在动态规划的框架下进行求解。本文将详细解析该问题的思路、实现细节，并通过代码实现来说明如何高效地解决该问题。
问题分析
关键难点
- 需要考虑是否对每个甜点使用魔法棒，因为魔法棒将会使得该甜点的喜爱值变为阶乘。
- 在选择甜点时，可以选择不使用魔法棒、使用魔法棒或不选择该甜点，因此需要处理多种选择。
- 由于魔法棒的数量是有限的，需要对每个魔法棒的使用情况进行跟踪。
动态规划思路
1. 定义状态
我们可以使用动态规划来解决这个问题。定义一个三维状态数组 dp[i][j][k]，表示前 i 个甜点，使用了 j 个魔法棒，达到喜爱值之和为 k 的方案数。
i：表示考虑前i个甜点。j：表示使用了j个魔法棒。k：表示当前选择的甜点的喜爱值之和。
2. 状态转移
对于每个甜点，可能有三种情况：
- 不使用魔法棒：直接将当前甜点的喜爱值
like[i-1]加入到当前总和中。 - 使用魔法棒：将当前甜点的阶乘值
math.factorial(like[i-1])加入到当前总和中。 - 不选择该甜点：跳过当前甜点，维持当前的状态。
3. 初始化
- 初始状态：
dp[0][0][0] = 1，表示没有选择任何甜点，并且喜爱值为 0 的方案只有一种。
4. 计算结果
最后，我们的目标是找到使用任意数量魔法棒的情况下，喜爱值恰好为 s 的所有方案数。可以通过遍历 dp[n][j][s] 来得到所有符合条件的结果。
代码实现
import math
def solution(n, m, s, like):
# 初始化 dp 数组
dp = [[[0 for _ in range(s+1)] for _ in range(m+1)] for _ in range(n+1)]
dp[0][0][0] = 1 # 初始状态，没有选择任何甜点，喜爱值和为0
# 动态规划填表
for i in range(1, n + 1):
value = like[i-1] # 当前甜点的喜爱值
factorialValue = math.factorial(value) # 计算阶乘值
for j in range(m + 1): # 使用 j 个魔法棒
for k in range(s + 1): # 当前喜爱值和为 k
# 第一种情况：不使用魔法棒
if k >= value:
dp[i][j][k] += dp[i-1][j][k-value]
# 第二种情况：使用魔法棒
if j > 0 and k >= factorialValue:
dp[i][j][k] += dp[i-1][j-1][k-factorialValue]
# 第三种情况：当前甜品不加入组合
dp[i][j][k] += dp[i-1][j][k]
# 计算结果
result = 0
for j in range(m + 1): # 所有使用魔法棒的情况
result += dp[n][j][s]
return result
复杂度分析
- 时间复杂度：我们需要计算
dp[i][j][k]，其中i的取值范围是n，j的取值范围是m，k的取值范围是s。因此，时间复杂度为 O(nms)。 - 空间复杂度：我们使用了一个三维数组
dp，因此空间复杂度也是 O(nms)。
个人思考与优化
在这个问题中，动态规划是一个非常合适的解法。通过逐步构建解，我们能够有效地避免暴力枚举的指数级增长，尤其是在使用魔法棒的选择上，确保每个状态只需要计算一次。尽管时间复杂度已经达到 O(nms)，但对于大多数实际输入来说，这已经是一个高效的解法。
然而，随着问题规模的增大，特别是当 n 或 s 非常大的时候，可能需要进一步优化。例如，可以考虑对阶乘值进行缓存，或者使用滚动数组来降低空间复杂度。
